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Twitterで数学に関する話題を発信しています。本家のサイトはログインしなければ閲覧できない仕様になってしまったので,当サイトに移して誰でも見られるようにしました。(2023.8.1)

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浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

最近授業でラグランジュの未定乗数法を扱う機会がありました。制約条件 $g(x,y)=0$ のもとで目的関数 $f(x,y)$ を最大化・最小化する問題で,最適解 $(x,y)$ の候補を求める方法です。図は,$f(x,y)=xy$,$g(x,y)=x^2+2y^2-8$,$x\gt0$,$y\gt0$ の場合です。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

曲面 $z=xy$ を山の斜面,曲線 $x^2+2y^2-8=0$ を山道とすると,この山道で最も標高が高い地点を求めるには,山道と等高線が接しているところを探せばよいというものです。答えは $(2,\r2)$ です。一般にはそういう地点は最高点の候補でしかありませんが,この例ではそのまま答えになっています。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

点 $(x,y)$ における $f$ と $g$ の勾配(傾きが最も急な方向)を求めると,$\nabla f=(y,x)$,$\nabla g=(2x,4y)$ です。これはそれぞれ等高線と山道の法線ベクトルなっていて,最高点ではこれが平行になることから,$\nabla f=k\nabla g$ と表せます。これと制約条件 $x^2+2y^2-8=0$ で連立方程式ができ,それを解くと $x=2$,$y=\r2$ を得ます。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

偏微分を使うので大学入試には出ませんが,線形計画法の微分バージョンとしてイメージだけでも持っておけば,最適化問題を思考するときの助けになると思います。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

数学には無名関数を表すリテラル式が存在しない(少なくとも一般的なものは無い)のですが,無名関数に引数を直接作用させる書き方であれば一応あります。$$x^2+3x+4\;\Big|_{x=1}=8$$ただし,これも $x^2+3x+4$ の部分だけ書いても関数型とは言えないので,やはり無名関数を表現しているとは言えません。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

それに,この書き方はあまり見た目も良くありません。もともと $f(1)$ という表記はあるのですから,$\{$関数型を返す式$\}(1)$ と書けるようにしてほしかったと思います。例えばラムダ式を使って,$$\{\,x\rightarrow x^2+3x+4\,\}(1)=8$$と書けると嬉しいのですが。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

ちなみに,$\{\,x^2+3x+4\,\}(x=1)=8$ ではダメです。関数部分だけを取り出したとき引数の文字が不明です。せっかくならその部分が独立して関数リテラルとなるような書き方にし,$$f=\{\,x\rightarrow x^2+3x+4\,\}$$と関数 $f$ を定義できるようにすれば合理的です。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

「s.t.」は such that の略だと思っていましたが,経済学の本を読むと subject to の略だと書かれていることが多いです。どちらも「~の条件を満たすような」という意味に違いはなく,どちらで捉えても成り立つのは面白いです。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

例えば,$\exists x\in\mathbb{R}~~\text{s.t.}~~f(x)\gt0$ であれば「 $f(x)\gt0$ を満たすような実数 $x$ が存在する」という意味です。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

$\big[~~\big]_a^b$ には曖昧なところがあって,$\int_a^b 2txdt=\big[\,t^2x\,\big]_a^b$ と書かれていれば分かりますが,$\big[\,t^2x\,\big]_a^b$ だけ切り取られると,$t$ と $x$ のどちらに値を代入するのか分からなくなります。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

$\big[F(t)\big]_a^b$ は $\big[F(t)\big]_{t=a}^{t=b}$ を省略した書き方なので,どの文字についての関数なのか分かりにくいときは,$\big[\,t^2x\,\big]_{t=a}^{t=b}$ と書けばよいでしょう。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

定積分で使う記法 $\big[F(x)\big]_a^b$ を数列の和にも利用してみました。$$\begin{align*}\sum_{k=5}^9k=&\Big[\,\frac{k(k+1)}2\,\Big]_4^9\\a_n=&\Big[\,S_k\,\Big]_{n-1}^n\end{align*}$$

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

$n(\{1,2,3\})=3$ という書き方は可能です。集合 $A$ の要素の個数を $n(A)$ と表すことと,集合 $A$ の定義を $A=\{1,2,3\}$ と書くことを認めた以上は,それを入れ子にした式も当然認められます。あまり見かけませんが正しい表記です。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

前にも書きましたが,$1\in\{1,2,3\}$ や $\{1\}\subset\{1,2,3\}$ や $\{1,2\}\cap\{2,3\}=\{2\}$ も認められます。要するに,集合に対して認められた式は,それが変数表記であってもリテラル表記であっても全く同等に認められます。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

確かこれはベクトルの内積から出た話だったと思います。$$(2,\,1)\!\cdot\!(1,\,3)=5$$と書いてもよいかという話ですが,$$\vc{a}=(2,\,1),\vc{b}=(1,\,3),\vc{a}\!\cdot\!\vc{b}=5$$という式が認められている以上は,もちろん正しいです。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

ベクトルの大きさを $|(2,\,1)|=\r{5}$ と表すこともできます。

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