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条件付き確率の簡単な例です。Uを出発して，AかBを経由して，XかYかZに到着します。道幅は分岐の比率を表しています。

A，Bを経由する確率は，それぞれ
$P(A)=\[7/10]$，$P(B)=\[3/10]$
X，Y，Zに到着する確率は，それぞれ
$P(X)=\[4/10]$，$P(Y)=\[5/10]$，$P(Z)=\[1/10]$
Aを経由したとき，X，Yに到着する確率は，それぞれ
$P_A(X)=\[4/7]$，$P_A(Y)=\[3/7]$
Yに到着したとき，A，Bを経由してきた確率は，それぞれ
$P_Y(A)=\[3/5]$，$P_Y(B)=\[2/5]$

$P_Y(A)$ や $P_Y(B)$ のような時間を逆行して考えるタイプの条件付き確率は「原因の確率」とよばれています。分かりにくいという人も多いですが，こういうシンプルな例で考えれば納得しやすいと思います。

ベクトルの方向余弦は3次元になって登場しますが，2次元にも方向余弦はあります。3次元で分かりにくい人は，まず2次元で理解しておくといいです。

方向余弦は，そのベクトルと同じ向きの単位ベクトルの成分のことで，それは座標軸の正の向きとなす角のcosで表せるということです。これを2次元で理解しておけば，3次元になっても同じです。

数式を表示できるようになりました。
2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解は $x=\[-b\pm\r{b^2-4ac}/2a]$ です。

台湾の國中教育會考の過去問です。

図形問題です。

記述問題もあります。

今日は円周率の日です。
Maximaで円周率を求めてみます。
a:1$
b:4$
c:b$
for i:1 thru 100 do (
    a:1/(2*i+1+i^2*a),
    b:((2*i+1)*a-1)*b,
    c:c+b
)$
fpprec:50$
print(bfloat(c))$
　↓
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751b0

上のコードはこれを計算しています。

次のように書くこともできます。
p:[1,0]$
q:[1,4]$
for n:1 thru 100 do (
    r:(2*n+1)*q+n^2*p,
    p:q,
    q:r
)$
fpprec:50$
print(bfloat(r[2]/r[1]))$
　↓
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751b0

この漸化式です。

今日 2022/02/22 は，8個の数字が2種類の数字だけで表される日です。次は 2111/11/11 です。

0001/01/01 から 9999/12/31 の間に，8個の数字が2種類の数字だけで表される日は全部で643回あり，今日はその391番目にあたります。
8個の数字が1種類の数字だけで表される日は 1111/11/11 の1回だけです。