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空間ベクトルを使った47x+32y=1の特殊解の見つけ方です。

a=(1,0,47) とする。
b=(0,1,32) とする。
a-b=(1,-1,15)=c
b-2c=(-2,3,2)=d
c-7d=(15,-22,1)
よって，47∙15+32∙(-22)=1

平面z=47x+32y上の2点A，Bが，高さ1まで交互に滑り降りてきます。z成分に互除法が使われています。

平面z=47x+32yは原点を通るので，2つのベクトルOA，OBはこの平面に含まれます。よって，これらのベクトルの1次結合もまたこの平面に含まれます。これをOCとします。これを繰り返して，z成分が1の点を求めます。

これを参考にしました。
http://ja9nfo.web.fc2.com/math/special-sol.pdf

「6分の1公式」を悪者扱いする記事が出ているようですが，あれは計算を楽にするだけの公式ではありません。放物線を図形として捉えたり，面積の性質を考えるための大事な教材でもあります。

例えば，「6分の1公式」で面積が切り口の幅の3乗に比例することは，中3で学習する「相似な図形の面積比は相似比の2乗」の延長にあり，その認識を広げてくれます。また，x²の係数や切り口を変えたときの放物線の変化が，面積にどう影響を与えるかを考えさせるのも有意義です。

f(z)=z^nによる複素数平面上の平行線の写像です。

1/z，√z，sinz，e^zではこうなります。

部分積分を体積を使って視覚化してみました。

曲線 y=f(x) に斜めの漸近線があるかどうかを求めるのに，参考書には lim を使った説明がよく書かれていますが，あれは発見法というよりは，漸近線があることが分かったうえでそれを示すための方法だと思った方がいいです。

ではどうやって発見するかというと，f(x)を最高位の部分だけ見たときに x の1次式になっている場合です。
例えば，
y=(2x²+x+1)/(x+3) → y=2x+b
y=2x+√(x²-1) → y=3x+b
y=∛(8x³+x+1) → y=2x+b
これらを f(x) のオーダーが1次関数であるといいます。

このようにして，あらかじめ斜めの漸近線があることを見抜いておいて，答案では lim を使って示せばよいということです。
数学によくある「本音の建前のギャップ」です。

「実数」という用語を教えるときは，後々実数以外の数が登場することも合わせて話しておく必要があります。そうしなければ，なぜすべての数にわざわざ名前を付けるのか，「数」と「実数」という言葉は何が違うのか，生徒は虚数の登場まで1年間も分からないままです。

後から登場したものと区別するために，元からあったものに改めて付けた名前をレトロニムといいます。実数はレトロニムです。