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データの標準化 $\[x-\bar{x}/s_x]$ を行うと標準偏差が $1$ になるのは，単位ベクトル $\vc{a}/|\vc{a}|$ の大きさが $1$ になることと同じです。

簡単に説明すると，データ $\vc{x}=(x_i)\;(i=1,2,\cdots,n)$ に対し，偏差ベクトルを $\vc{u}=(u_i)=(x_i-\bar{x})$ で定めると，$\vc{x}$ の標準偏差 $s_x$ は，偏差ベクトル $\vc{u}$ のノルムとみなせます。$$s_x=\r{\[1/n]\textstyle\sum{u_i}^2}=\r{\[1/n]}\,\|\vc{u}\|_2=:\|\vc{u}\|_s$$

つまりデータの標準化 $\[x-\bar{x}/s_x]$ は，データの偏差ベクトル $\vc{u}$ を $\|\vc{u}\|_s$ で割ることでそのノルムを $1$ にする操作であり，単位ベクトル $\vc{a}/|\vc{a}|$ と同じアイデアです。

標準偏差が偏差ベクトルのノルムであることは次を意味します。

1. $\|\vc{u}\|_s=0~\douti~\vc{u}=\vc{0}$
2. $\|a\vc{u}\|_s=|a|\,\|\vc{u}\|_s$
3. $\|\vc{u_1}+\vc{u_2}\|_s\leqq\|\vc{u_1}\|_s+\|\vc{u_2}\|_s$

中3向け，2辺の長さ $x$，$y$ とその間の角 $\theta$ から三角形の面積を求める方法です。$x$，$y$ は何でもいいので，面積の分かる適当な三角形を作り，その2辺の長さを伸縮させて求める三角形に合わせます。
$\theta=75\deg$ の例です。

$\theta$ が $30\deg$，$45\deg$，$60\deg$，$90\deg$，$120\deg$，$135\deg$，$150\deg$ であればわざわざこんな方法をとらなくてもいいですが，$15\deg$，$75\deg$，$105\deg$，$165\deg$ にも通用するので，中3の時点では汎用性が高い方法です。

$165\deg$ は「面積の分かる適当な三角形」が作りにくいですが，例えば $15\deg$ の内角をもつ三角形を作っておいて，その外角を使うといいです。

ここまで考えれば，角が $\theta$ でも $180\deg-\theta$ でも三角形の面積は変わらないことに気付くと思うので，ここからさらなる一般化を考えて，$\sin\theta=\sin(180\deg-\theta)$ や $S=\[1/2]ab\sin C$ の考えに向かうのもいいでしょう。

ちなみに，次のような方法で面積を求めることもできます。図としてはこちらの方が分かりやすいかもしれません。

立方体(青色)を，緑色の正三角形の面に関して対称移動し，別の立方体(赤色)をつくった様子です。この図に示されている全ての点が格子点になっています。

[プラチカ理系1A2B 問65]
解説にあるような解き方は，受験生が初めからそうしようとは考えにくい方法で，別解として紹介するならいいですが，これを模範解答とするのはあまり良い解説とは思えません。
普通に考えれば，$a\sin x+b\cos x$ が $x$ の定数関数になるための条件は $a=b=0$ であることに気付き，それを利用しようと考えるのが自然な発想ではないかと思います。

証明は簡単です。$a\neq0$ または $b\neq0$ とすると，$a\sin x+b\cos x$ は合成によって振幅が $\r{a^2+b^2}\gt0$ の波をなすと分かるので定数関数ではありません。だから $a=0$ かつ $b=0$ となる必要があります。

$y$ の最大値が $a$ であることを証明するには，$y\leqq a$ とその等号が成り立つ場合があることを確かめればよいのですが，あらかじめ $y=a$ の成立が明らかであれば，あとは $y\gt a$ が成り立たないことを示す方が自然という場合もあります。

通常の確率 $P(A)$ も全事象 $U$ を条件とする条件付き確率とみなすことができます。つまり，$P(A)=P_U(A)$ です。ただし，わざわざ $U$ を付けて表すのは，整数を書くのに分母が $1$ の分数を毎回書くようなもので，無駄なので普通は省きます。特に強調したい意図があるときだけ書いてください。