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$y$ の最大値が $a$ であることを証明するには，$y\leqq a$ とその等号が成り立つ場合があることを確かめればよいのですが，あらかじめ $y=a$ の成立が明らかであれば，あとは $y\gt a$ が成り立たないことを示す方が自然という場合もあります。

通常の確率 $P(A)$ も全事象 $U$ を条件とする条件付き確率とみなすことができます。つまり，$P(A)=P_U(A)$ です。ただし，わざわざ $U$ を付けて表すのは，整数を書くのに分母が $1$ の分数を毎回書くようなもので，無駄なので普通は省きます。特に強調したい意図があるときだけ書いてください。

条件付き確率の簡単な例です。Uを出発して，AかBを経由して，XかYかZに到着します。道幅は分岐の比率を表しています。

A，Bを経由する確率は，それぞれ
$P(A)=\[7/10]$，$P(B)=\[3/10]$
X，Y，Zに到着する確率は，それぞれ
$P(X)=\[4/10]$，$P(Y)=\[5/10]$，$P(Z)=\[1/10]$
Aを経由したとき，X，Yに到着する確率は，それぞれ
$P_A(X)=\[4/7]$，$P_A(Y)=\[3/7]$
Yに到着したとき，A，Bを経由してきた確率は，それぞれ
$P_Y(A)=\[3/5]$，$P_Y(B)=\[2/5]$

$P_Y(A)$ や $P_Y(B)$ のような時間を逆行して考えるタイプの条件付き確率は「原因の確率」とよばれています。分かりにくいという人も多いですが，こういうシンプルな例で考えれば納得しやすいと思います。

ベクトルの方向余弦は3次元になって登場しますが，2次元にも方向余弦はあります。3次元で分かりにくい人は，まず2次元で理解しておくといいです。

方向余弦は，そのベクトルと同じ向きの単位ベクトルの成分のことで，それは座標軸の正の向きとなす角のcosで表せるということです。これを2次元で理解しておけば，3次元になっても同じです。

数式を表示できるようになりました。
2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解は $x=\[-b\pm\r{b^2-4ac}/2a]$ です。

台湾の國中教育會考の過去問です。

図形問題です。

記述問題もあります。