Twitter

Twitterで数学に関する話題を発信しています。本家のサイトはログインしなければ閲覧できない仕様になってしまったので,当サイトに移して誰でも見られるようにしました。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

関数 f(x)/g(x) が x=a で極値をとるとき,
f'(a)g(a)−f(a)g'(a)=0 より,
f(a)/g(a)=f'(a)/g'(a) が成り立ちます。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

直感的に言うと,f(x)/g(x) が x=a で極値をとるのは,その付近でfとgの比が不変ということなので,
f/g=(f+Δf)/(g+Δg)=Δf/Δg

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

このとき,2曲線 y=f(x) と y=g(x) の x=a における接線が,x軸上で交わります。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

2曲線 y=f(x), y=g(x) よりも,曲線 (f(t), g(t)) でイメージする方が簡単でした。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

ロピタルの定理のイメージもこれに近いです。点Pが原点に飛び込んでくるとき,入る間際のPの方向ベクトルとOPが同じ向きになるのがロピタルの定理です。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

商の微分の公式 {f(x)/g(x)}' は,教科書では積の微分と逆数の微分を用意しておいて,それを組み合わせて導くことが多いですが,そうすると結果を直感的にとらえにくいという欠点があるので,できるだけ微分の定義だけで導くこともやってみてください。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

あ/い−ア/イ を通分すると,(あイ−アい)/(いイ) になりますが,大雑把に言うと,商の微分の形はこれに由来しています。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

さらに拡張してみました。
a※※b = expexpexp(loglogloga + logloglogb)
a※b = expexp(logloga + loglogb)
a×b = exp(loga + logb)
a+b = a+b
a*b = log(expa + expb)
a**b = loglog(expexpa + expexpb)

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

×を中心に広げるとこうなります。
a※※b = expexp(logloga × loglogb)
a※b = exp(loga × logb)
a×b = a×b
a+b = log(expa × expb)
a*b = loglog(expexpa × expexpb)
a**b = logloglog(expexpexpa × expexpexpb)

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

演算※と累乗^との関係は
a^b = a※expb
a※b = a^logb = b^loga

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

a※b = log(expa ※※ expb) = exp(loga × logb)
a×b = log(expa ※ expb) = exp(loga + logb)
a+b = log(expa × expb) = exp(loga * logb)
a*b = log(expa + expb) = exp(loga ** logb)
a**b = log(expa * expb) = exp(loga *** logb)

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

exp(a×b) = expa ※ expb
exp(a+b) = expa × expb
exp(a*b) = expa + expb
exp(a**b) = expa * expb

log(a※b) = loga × logb
log(a×b) = loga + logb
log(a+b) = loga * logb
log(a*b) = loga ** logb

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

a※a※a = a※※expexp3
a×a×a = a※exp3
a+a+a = a×3
a*a*a = a+log3
a**a**a = a*loglog3
a***a***a = a**logloglog3

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

(等差)×(等比)の和を,階差数列の和とみなして解く方法です。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

Pythonでマンデルブロ集合その2の修正。計算回数を調節して,できるだけ細部がつぶれないようにしました。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

Pythonでマンデルブロ集合その2。着色はrainbowというカラーマップに任せています。