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どの4点を結んでも正方形ができないように配置できる点の最大数を考えています。
3×3 → 6個
4×4 → 10個
5×5 → 15個
6×6 → 21個

7×7以上は現時点で分かっている最大数です。これが本当の最大値かどうか確認はとれていません。
7×7 → 27個
8×8 → 34個
9×9 → 41個
10×10 → 49個

与えられた点から4点を選んで正方形をつくるパズルです。

答えです。それぞれ答えは1つしかありません。

関数の合成について g∘f=f∘g は一般には成り立ちませんが，f と g によっては成り立つこともあります。それはどのような場合があるでしょうか。

すぐ分かる例は，
f = g (2つが同一の関数のとき)
f = id (一方が恒等関数 f(x)=x のとき)
f = g⁻¹ (互いに逆関数のとき，ただし共通の定義域において)

1次関数では，
f(x)=x+2，g(x)=x+3 や，
f(x)=2x，g(x)=3x があります。

これは，+，× がそれぞれ交換法則・結合法則を満たすからです。+ の場合は，
(g∘f)(x)
=(x+2)+3
=x+(2+3)
=x+(3+2)
=(x+3)+2
=(f∘g)(x)

f，g が1次関数のとき，g∘f=f∘g となる必要十分条件は何でしょうか。f(x)=ax+b，g(x)=cx+d とおいて調べてみてください。
すでにあげた例（同一の関数，一方が恒等関数，互いに逆関数，+，×の交換法則・結合法則によるもの）以外にも見つかるはずです。

f，g が1次関数と2次関数の場合，あるいは2次関数どうしの場合はどうでしょうか。
これは自明な例しかなく，前者は一方が恒等関数のとき，後者は同一の関数になる場合に限られます。

合成関数の微分に使う dy/dx = dy/du ∙ du/dx には名前があって「チェイン・ルール」といいます。日本語では「連鎖律」というそうです。

「連鎖律」の方は，律というからにはもっと幅広く適用したくなりますが，
a/b ∙ b/c = a/c
log_a(b) ∙ log_b(c) = log_a(c)
→AB + →BC = →AC
こういうものには使わず，微分専用の言葉のようです。

教科書では，ベクトルの内積の分配法則 a∙(b+c) = a∙b+a∙c は，成分内積の公式 a∙b=a₁b₁+a₂b₂ の後で証明します。その方が簡単だからですが，内積の定義 a∙b=|a||b|cosθ から証明するのも十分簡単なので，やったことがない人は試してみてください。

a, bはベクトルとします。
|a+b|² = |a|²+2a∙b+|b|²
|a+b+c|² = |a|²+|b|²+|c|²+2a∙b+2b∙c+2c∙a
|a+b|³ = ?