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関数 f(x)/g(x) が x=a で極値をとるとき，
f'(a)g(a)−f(a)g'(a)=0 より，
f(a)/g(a)=f'(a)/g'(a) が成り立ちます。

直感的に言うと，f(x)/g(x) が x=a で極値をとるのは，その付近でfとgの比が不変ということなので，
f/g=(f+Δf)/(g+Δg)=Δf/Δg

このとき，2曲線 y=f(x) と y=g(x) の x=a における接線が，x軸上で交わります。

2曲線 y=f(x), y=g(x) よりも，曲線 (f(t), g(t)) でイメージする方が簡単でした。

ロピタルの定理のイメージもこれに近いです。点Pが原点に飛び込んでくるとき，入る間際のPの方向ベクトルとOPが同じ向きになるのがロピタルの定理です。

商の微分の公式 {f(x)/g(x)}' は，教科書では積の微分と逆数の微分を用意しておいて，それを組み合わせて導くことが多いですが，そうすると結果を直感的にとらえにくいという欠点があるので，できるだけ微分の定義だけで導くこともやってみてください。

あ/い−ア/イ を通分すると，(あイ−アい)/(いイ) になりますが，大雑把に言うと，商の微分の形はこれに由来しています。

さらに拡張してみました。
a※※b = expexpexp(loglogloga + logloglogb)
a※b = expexp(logloga + loglogb)
a×b = exp(loga + logb)
a+b = a+b
a*b = log(expa + expb)
a**b = loglog(expexpa + expexpb)

×を中心に広げるとこうなります。
a※※b = expexp(logloga × loglogb)
a※b = exp(loga × logb)
a×b = a×b
a+b = log(expa × expb)
a*b = loglog(expexpa × expexpb)
a**b = logloglog(expexpexpa × expexpexpb)

演算※と累乗^との関係は
a^b = a※expb
a※b = a^logb = b^loga

a※b = log(expa ※※ expb) = exp(loga × logb)
a×b = log(expa ※ expb) = exp(loga + logb)
a+b = log(expa × expb) = exp(loga * logb)
a*b = log(expa + expb) = exp(loga ** logb)
a**b = log(expa * expb) = exp(loga *** logb)

exp(a×b) = expa ※ expb
exp(a+b) = expa × expb
exp(a*b) = expa + expb
exp(a**b) = expa * expb

log(a※b) = loga × logb
log(a×b) = loga + logb
log(a+b) = loga * logb
log(a*b) = loga ** logb

a※a※a = a※※expexp3
a×a×a = a※exp3
a+a+a = a×3
a*a*a = a+log3
a**a**a = a*loglog3
a***a***a = a**logloglog3

(等差)×(等比)の和を，階差数列の和とみなして解く方法です。

Pythonでマンデルブロ集合その2の修正。計算回数を調節して，できるだけ細部がつぶれないようにしました。

Pythonでマンデルブロ集合その2。着色はrainbowというカラーマップに任せています。