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$e$ を底とする対数を「自然対数」というように，$e$ を底とする指数関数を「自然指数関数」ということがあるようです。でもあまり一般的ではないと思います。

$e$ にはネイピア数という名前があるのですが，高校ではその名前は習わず，代わりに「自然対数の底」と呼んでいます。しかし，自然対数のことを「$e$ を底とする対数」と説明するのなら，$e$ の説明には自然対数の名は使わず，直接ネイピア数と呼ぶべきです。

ネイピア数を $e$ で表したのはオイラーです。$e$ の由来はEularの頭文字ではないか，あるいは指数関数を表すexponentialの頭文字ではないかと言われたりしますが，実際のところは不明だそうです。

数学でパイプ演算子 $\rhd$ を使う。$$\begin{align*}3\;\rhd\;&\{\,x\rightarrow 2x\,\}=6\\3\;\rhd\;&\{\,x\rightarrow 2x\,\}\rhd\{\,x\rightarrow x^2\,\}=36\\&\{\,x\rightarrow 2x\,\}\rhd\{\,x\rightarrow x^2\,\}=\{\,x\rightarrow 4x^2\,\}\end{align*}$$

$f(x)$ や合成演算子 $\circ$ との対応。$$\begin{align*}f(x)&=x\rhd f\\g\circ f&=f\rhd g\\(g\circ f)(x)&=x\rhd f\rhd g\end{align*}$$

パイプ演算子 $\rhd$ と合成 $\blacktriangleright$ は区別した方が良いという考えもあります。$$\begin{align*}f(x)&=x\rhd f\\g\circ f&=f\blacktriangleright g\\(g\circ f)(x)&=x\rhd(f\blacktriangleright g)\\&=(x\rhd f)\rhd g\end{align*}$$

最近授業でラグランジュの未定乗数法を扱う機会がありました。制約条件 $g(x,y)=0$ のもとで目的関数 $f(x,y)$ を最大化・最小化する問題で，最適解 $(x,y)$ の候補を求める方法です。図は，$f(x,y)=xy$，$g(x,y)=x^2+2y^2-8$，$x\gt0$，$y\gt0$ の場合です。

曲面 $z=xy$ を山の斜面，曲線 $x^2+2y^2-8=0$ を山道とすると，この山道で最も標高が高い地点を求めるには，山道と等高線が接しているところを探せばよいというものです。答えは $(2,\r2)$ です。一般にはそういう地点は最高点の候補でしかありませんが，この例ではそのまま答えになっています。

点 $(x,y)$ における $f$ と $g$ の勾配(傾きが最も急な方向)を求めると，$\nabla f=(y,x)$，$\nabla g=(2x,4y)$ です。これはそれぞれ等高線と山道の法線ベクトルなっていて，最高点ではこれが平行になることから，$\nabla f=k\nabla g$ と表せます。これと制約条件 $x^2+2y^2-8=0$ で連立方程式ができ，それを解くと $x=2$，$y=\r2$ を得ます。

偏微分を使うので大学入試には出ませんが，線形計画法の微分バージョンとしてイメージだけでも持っておけば，最適化問題を思考するときの助けになると思います。

数学には無名関数を表すリテラル式が存在しない(少なくとも一般的なものは無い)のですが，無名関数に引数を直接作用させる書き方であれば一応あります。$$x^2+3x+4\;\Big|_{x=1}=8$$ただし，これも $x^2+3x+4$ の部分だけ書いても関数型とは言えないので，やはり無名関数を表現しているとは言えません。

それに，この書き方はあまり見た目も良くありません。もともと $f(1)$ という表記はあるのですから，$\{$関数型を返す式$\}(1)$ と書けるようにするべきです。例えばラムダ式を使って，$$\{\,x\rightarrow x^2+3x+4\,\}(1)=8$$と書けると嬉しいのですが。

ちなみに，$\{\,x^2+3x+4\,\}(x=1)=8$ ではダメです。関数部分だけを取り出したとき引数の文字が不明です。せっかくならその部分が独立して関数リテラルとなるような書き方にし，$$f=\{\,x\rightarrow x^2+3x+4\,\}$$と関数 $f$ を定義できるようにすれば合理的です。

「s.t.」は such that の略だと思っていましたが，経済学の本を読むと subject to の略だと書かれていることが多いです。どちらも「～の条件を満たすような」という意味に違いはなく，どちらで捉えても成り立つのは面白いです。

例えば，$\exists x\in\mathbb{R}~~\text{s.t.}~~f(x)\gt0$ であれば「 $f(x)\gt0$ を満たすような実数 $x$ が存在する」という意味です。

$\big[~~\big]_a^b$ には曖昧なところがあって，$\int_a^b 2txdt=\big[\,t^2x\,\big]_a^b$ と書かれていれば分かりますが，$\big[\,t^2x\,\big]_a^b$ だけ切り取られると，$t$ と $x$ のどちらに値を代入するのか分からなくなります。

$\big[F(t)\big]_a^b$ は $\big[F(t)\big]_{t=a}^{t=b}$ を省略した書き方なので，どの文字についての関数なのか分かりにくいときは，$\big[\,t^2x\,\big]_{t=a}^{t=b}$ と書けばよいでしょう。