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常用対数を使ってけた数を求める問題と，小数の深さ(小数第何位に0でない数が現れるか)を求める問題は，話は同じはずなのにつながりがいまいちです。ガウス記号を使って，xのけた数は[logx](負は深さとみなす)とまとめたくなりますが，正のときに1だけずれてしまいます。

けた数の表し方が0始まりではなく，1始まりになっているのが原因です。しかし，1けたの数の大きさを改めて0とは呼びにくいし，代わりに深さ1の小数の大きさを0というのも分かりにくい。だから仕方なくこのままやっているという感じです。

ベクトルa,bについて (a-b)∙(a-b) を展開すると，簡単に余弦定理が得られます。ただし，それを余弦定理の証明だと言うためには，内積の交換法則と分配法則を内積の定義から示しておく必要があります。一般的な流れでは，交換法則を示すのに余弦定理が使われています。

普段覚えて使っている定理や公式は，自分で証明しようと思えば証明できるか。たまには点検してみて下さい。

中2で，星形多角形の内角の和を求めさせる問題はよく出ます。でも，せっかく多角形の外角の和の意味に注目させたのだから，星形多角形でも外角の和に注目させれば面白いと思うのですが，残念ながらそういう出題は見ません。

星形は一巡りすると方向が2回転するので，外角の和は360°×2=720°です。その他の星形も，360°×n回転で求められます。

これを曲線に拡張すると，円の外角の和は360°×1回転=360°になります。NTTのマークやAcrobatReaderのマークは360°×2回転=720°で，星形と同じです。八の字は360°×0回転=0°と言えそうです。

中2で多角形の外角の和が360°で一定であることを学習します。何角形であっても一巡りするのに進行方向が合計360°変わるのに変わりないということですが，それは円でも同じです。

そう考えると，円は∞角形みたいなもので，その小さな外角を∞個集めたら360°になると言えそうです。この発想は，後に曲率やその積分という考えにつながっていきます。

(初項+末項)×項数÷2で和が求められるのは等差数列に限りません。項差に対称性がある数列であれば同様に使えます。例えば，300以下の自然数のうち30と互いに素である数の総和を求めるなら，(1+299)×80÷2=12000です。

そして，こういうことは高校生より小学生の方がよく気付きます。