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Elephant SpinOut - http://www.puzzles.com/products/elephantspinout.htm
再帰的解法のお手本のようなパズル。残念ながらブラウザによっては正しく動作しません。

x^y=y^xについて，x≠yときの解は，x=(1+1/t)^t，y=(1+1/t)^(t+1)と表されます。t→∞とすると(x,y)→(e,e)です。

解の導き方はここに載っています。
http://www.qbyte.org/puzzles/p048s.html

方程式 2^x=2x も，x=log[2]kとおくと 2^k=k^2 になるので，これと同じ問題と言えます。

x^y=y^xの解を調べるために，曲面z=x^yとz=y^xを描きました(zは対数軸)。交差しているところに注目すると，直線x=yのほかに別の曲線も見えます。その曲線上には，例えば(2,4)や(4,2)があります。

ベクトルaどうしの内積は a∙a と書き，a^2 とは書きません。それは a^3，a^(-1)，a^(1/2) 等に意味がないことを考えると納得できます。

常用対数を使ってけた数を求める問題と，小数の深さ(小数第何位に0でない数が現れるか)を求める問題は，話は同じはずなのにつながりがいまいちです。ガウス記号を使って，xのけた数は[logx](負は深さとみなす)とまとめたくなりますが，正のときに1だけずれてしまいます。

けた数の表し方が0始まりではなく，1始まりになっているのが原因です。しかし，1けたの数の大きさを改めて0とは呼びにくいし，代わりに深さ1の小数の大きさを0というのも分かりにくい。だから仕方なくこのままやっているという感じです。

ベクトルa,bについて (a-b)∙(a-b) を展開すると，簡単に余弦定理が得られます。ただし，それを余弦定理の証明だと言うためには，内積の交換法則と分配法則を内積の定義から示しておく必要があります。一般的な流れでは，交換法則を示すのに余弦定理が使われています。