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ベクトルの内積を (1,2)∙(3,4) のように成分表示のまま書くのはダメなのか。教科書などの出版物は書かない習慣がありますが，書かないだけで間違っているわけではありません。だから，学習者が自分の答案にそれを書くのは全く構わないと思います。

ベクトルの内積は，(1行n列)(n行1列)という行列の積と同じです。でも行列の積は行列であって内積とは一致しないのではないか？という気もしますが，実際，1行1列の行列をスカラーとみなすことはよくあります。(プログラマーから見るといい加減だと思われそうです)

逆にスカラーは1行1列の行列とみなせるでしょうか。つまり，すべてを行列で統一できたら面白いなと思ったのですが，ちょっと考えてみるといろいろ面倒なことになりそうでした。

Elephant SpinOut - http://www.puzzles.com/products/elephantspinout.htm
再帰的解法のお手本のようなパズル。残念ながらブラウザによっては正しく動作しません。

x^y=y^xについて，x≠yときの解は，x=(1+1/t)^t，y=(1+1/t)^(t+1)と表されます。t→∞とすると(x,y)→(e,e)です。

解の導き方はここに載っています。
http://www.qbyte.org/puzzles/p048s.html

方程式 2^x=2x も，x=log[2]kとおくと 2^k=k^2 になるので，これと同じ問題と言えます。

x^y=y^xの解を調べるために，曲面z=x^yとz=y^xを描きました(zは対数軸)。交差しているところに注目すると，直線x=yのほかに別の曲線も見えます。その曲線上には，例えば(2,4)や(4,2)があります。

ベクトルaどうしの内積は a∙a と書き，a^2 とは書きません。それは a^3，a^(-1)，a^(1/2) 等に意味がないことを考えると納得できます。