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「連続する整数」のことを「隣接する整数」と表現している本があります。実数などに使う連続という言葉を，離散的な整数に使うべきではないという考えです。また，整数にはすぐ隣の数があるのに対して，実数や有理数にはありません。このような性質に隣接という言葉は合っています。

xがaとbの間にあることを表したいとき，a<x<b か b<x<a か，aとbの大小で場合分けしなければ書けないのが面倒なことがあります。x∈(a,b) はどうかなと思ったら，(a,b) は a≧b のとき空集合になるそうでダメでした。

意地でも場合分けをしない書き方を考えてみると…
x∈(a,b)∪(b,a)
(x-a)(x-b)<0
|2x-(a+b)|<|a-b|
min{a,b}<x<max{a,b}
x∈{ta+(1-t)b|0<t<1}

最後の x∈{ta+(1-t)b|0<t<1} は失敗です。a=bのときが他と異なります。

分数を足すのに，分子どうし分母どうしを足すのは誤りですが，そうやって作った分数にも意味はあります。それぞれの分母を重みとする加重平均になっています。

分数の分子どうし分母どうしを足す意味は，例えば，食塩水の混ぜ合わせを考えると分かります。濃度a/b，c/dの食塩水を混ぜると，濃度は(a+c)/(b+d)になります。

濃さの違う食塩水を混ぜ合わせると中間的な濃さの食塩水になりますが，それを示したものが，加比の理 a/b<(a+c)/(b+d)<c/d です。

加比の理 a/b<(a+c)/(b+d)<c/d は，食塩水の濃度よりも，座標平面上で直線の傾きを比べて説明するのが一般的です。ただし，どちらも直感的すぎて証明というには不十分です。証明は別に行って下さい。

三角関数の微分を習ったら，まずは加法定理，2倍角の公式，半角の公式などを微分して遊びましょう。

内積シリーズ。円 x²+y²=r² 上の点 (a,b) における接線の方程式 ax+by=r² は，ベクトルの内積を使って (a,b)∙(x,y)=r² と表すと，図形的に意味が分かりやすくなります。(ベクトル方程式を学習するときに普通に出てくる話ですがついでに)

「最大値の最小値を求めよ」という問題があります。何の意味があるのか不思議に思うかも知れませんが，例えば，災害による最大の被害を想定してそれが最小になるように対策をとったり，ビジネスで想定される最大の損失が最小となるような行動を選択をしたりと，現実にそういう場面は案外あります。