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内積シリーズ。円 x²+y²=r² 上の点 (a,b) における接線の方程式 ax+by=r² は，ベクトルの内積を使って (a,b)∙(x,y)=r² と表すと，図形的に意味が分かりやすくなります。(ベクトル方程式を学習するときに普通に出てくる話ですがついでに)

「最大値の最小値を求めよ」という問題があります。何の意味があるのか不思議に思うかも知れませんが，例えば，災害による最大の被害を想定してそれが最小になるように対策をとったり，ビジネスで想定される最大の損失が最小となるような行動を選択をしたりと，現実にそういう場面は案外あります。

「りんご，かき，なしを使って5個入りの果物かごを作る方法は何通りありますか。ただし1つも入らない果物があってもよいものとする」
これは重複組合せの問題です。この解き方を○｜法ではなく，あえて順序組分配法で説明してみます。

りんご=1，かき=2，なし=3とします。選んだ番号を小さい順に並べると，例えば1,1,2,2,3となります。これらに順番に0,1,2,3,4を足すと，1,2,4,5,7になります。すると，果物の選び方は1～7の番号から5つを選ぶ組合せに対応するので，7C5=21通りです。

確かに分かりにくいと思います。○｜法を知っている人はそれに置き換えて理解することもできますが，かつてはこの方法が教科書に載っていたそうで，最初に教わるのがこれでは難しいでしょう。対応を考える以前に，果物を数にして足し算をすることに抵抗を感じる生徒も多いと思われます。

三角関数の合成にも内積が使えます。例えば，cosθ+√3sinθ = (1,√3)∙(cosθ,sinθ) = 2×1×cos(間の角) = 2cos(θ-π/3) となります。

これは，加法定理 cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB がベクトルの内積から導けることとアイデアは同じです。

三角関数の合成をわざわざベクトルの内積で表すのは，計算上のメリットよりも，合成の様子が図形的に捉えられるメリットの方が大きいです。

結果をcosではなくsinにしたいのであれば，角にπ/2を足して下さい。
… = 2cos(θ-π/3) = 2sin(θ-π/3+π/2) = 2sin(θ+π/6)

「内積=0 ⇔ 垂直」に従って，零ベクトルは任意のベクトルと垂直であるという考えもありますが，高校数学では零ベクトルは垂直とは言いません。「ベクトルのなす角=90° ⇔ 垂直」という図形的な解釈を優先しています。どちらが正しいかという問題ではなく，ただの流儀の違いと考えて下さい。

(a,b)と(c,d)の内積は，x方向とy方向の基本ベクトルをx,yとして，(ax+by)∙(cx+dy)=(ac)x∙x+(ad+bc)x∙y+(bd)y∙y=ac+bd と簡単に導出できます。でも一般的な流れでは，余弦定理を使って証明します。それはなぜか考えてみて下さい。

答え。この導出過程に内積の分配法則と交換法則が使われているからです。一般的な流れでは，分配法則や交換法則は(a,b)∙(c,d)=ac+bdを使って示すので，それを(a,b)∙(c,d)=ac+bdの証明に使うわけにはいきません。参照が循環してしまいます。

つまり，あらかじめ内積の定義から分配法則と交換法則を導いておけば，この方法でも(a,b)∙(c,d)=ac+bdの証明になります。さらに，ここから余弦定理も簡単に証明できるので，こちらの流れの方が合理的に感じられます。(それが教育上ふさわしいかどうかは別です)