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GeoGebraで12角形の頂点から相関係数を計算する教材を作りました。頂点を動かしながら値の変化を観察できます。
http://ggbtu.be/mZTTnA8ZT

表計算ビューを表示すると動作が遅いので，図のみ表示するバージョンも作りました。
http://ggbtu.be/m1842949

和が0のベクトルというと，2PA+3PB+4PC=0(PA,PB,PCはベクトル)から点Pの位置や面積比△PAB:△PBC:△PCAを求める問題を連想します。これも，点Aに質量2，点Bに質量3，点Cに質量4の質点があり，点Pがその重心になっていると考えられます。

ところで3つの質量が等しければ，点Pはただの三角形の重心です。そう考えたいときは，点Pを基準とする位置ベクトルで2a,3b,4cにあたる点をそれぞれA',B',C'とすれば，点Pは三角形A'B'C'の重心になります。

そうすれば，三角形の重心の性質を利用して解くこともできます。△PA'B'=△PB'C'=△PC'A'から△PAB:△PBC:△PCAが求められ，それを使って点Pの位置が求められます。

2変量×n個の偏差xi,yiをベクトルとして考えるとき，n個の2次元ベクトル(x1,y1),...,(xn,yn)とみたり，2個のn次元ベクトル(x1,...,xn),(y1,...,yn)とみたりしますが，偏差ベクトルというときは後者の方を指します。

散布図を考えるときは，前者の2次元ベクトル(x1,y1),...,(xn,yn)に注目しています。一方，xとyの相関係数を考えるときは，後者の偏差ベクトル(x1,...,xn),(y1,...,yn)に注目しています。相関係数は2つの偏差ベクトルのなす角θの余弦cosθです。

偏差には和が0という性質があります。偏差は平均が0となるようにデータをシフトさせたものだからです。前者の2次元ベクトルで言えば，(x1,y1)+...+(xn,yn)=(0,0)ということです。これは，n個の同じ質量の質点が原点を重心とするように散らばっているイメージです。

縦a，横bの長方形の面積abは，2つの正方形の面積a²，b²の相乗平均とみなすことができます。

共分散は，長方形の面積(ただし符号つき)の相加平均をとる形になっています。それぞれの長方形の面積は正方形の面積の相乗平均とみなせるので，共分散は正方形の面積の相乗平均(ただし符号つき)の相加平均といえます。

すると，相関係数 r[x,y]=s[x,y]/s[x]s[y] は，分子が「正方形の面積の相乗平均の相加平均」，分母が「正方形の面積の相加平均の相乗平均」で，その違いを比で表したものとみなすことができます。

n次元の座標空間において，点O，点A(1,2,...,n)，点B(n,...2,1) とします。n→∞ とするとき，三角形OABはどんな形になりますか。

二等辺三角形なのは明らかなので，あとは頂角を調べます。cos∠AOB=(1∙n+2∙(n-1)+...+n∙1)/(1²+2²+...+n²)=(中略)=(n+2)/(2n+1)→1/2，すなわち ∠AOB→60°となり，正三角形に近づいていきます。

直感的にはこれでいいだろうと思いますが，次元を∞にとばしたときの極限がどう定義されるのか，本当は知りません。

相関係数は変量を1次式で変換しても変わらないという性質があります。つまり，変量x, yに対してu=ax+b, v=cx+d (a>0,c>0) で新しい変量u,vを定めたとき，相関係数について r[x,y]=r[u,v] が成り立ちます。

式で確認すると，s[u,v]=acs[x,y]，s[u]=as[x]，s[v]=cs[y] より，r[u,v]=s[u,v]/s[u]s[v]=acs[x,y]/as[x]cs[y]=s[x,y]/s[x]s[y]=r[x,y] となります。

これは，相関係数をcosθ (θは2つの偏差ベクトルのなす角) と考えると，図形的にイメージすることもできます。偏差ベクトルu,vは，偏差ベクトルx,yをそれぞれa倍,c倍に伸ばしているだけなので，ベクトルのなす角は変わらないということです。