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変量x,yに対して新しい変量z=x-yを作ると，標準偏差Sと相関係数RについてSz²=Sx²+Sy²-2SxSyRxyが成り立ちます。これは余弦定理の形をしています。つまりSx,Sy,Szを3辺として三角形を作ると，SxとSyの間の角θの余弦cosθが相関係数になります。

GeoGebraで確認してみました。
http://ggbtu.be/m1939573

このことから |Sx-Sy|≦Sz≦Sx+Sy が分かります。
前の等号成立 ⇔ θ=0° ⇔ 相関係数 Rxy=1
後の等号成立 ⇔ θ=180° ⇔ 相関係数 Rxy=-1

相関係数 Rxy>0 ⇔ θは鋭角 ⇔ Sz²<Sx²+Sy²
相関係数 Rxy=0 ⇔ θは直角 ⇔ Sz²=Sx²+Sy²
相関係数 Rxy<0 ⇔ θは鈍角 ⇔ Sz²>Sx²+Sy²
ここでは鋭角は0°，鈍角は180°を含みます。

以上は z=x-y または z=y-x の場合です。z=x+y の場合は Sz²=Sx²+Sy²+2SxSyRxy になります。つまり相関係数の符号の扱いが逆になるだけで，あとは全く同じです。

z=x+yの場合は，
相関係数 Rxy<0 ⇔ θは鋭角 ⇔ Sz²<Sx²+Sy²
相関係数 Rxy=0 ⇔ θは直角 ⇔ Sz²=Sx²+Sy²
相関係数 Rxy>0 ⇔ θは鈍角 ⇔ Sz²>Sx²+Sy²

分散は，データX=(x1,x2,…,xn)が平均A=(a,a,…,a)からどれだけ離れているかを測るものです。このとき偏差の2乗和Σ(x-a)²を求めるのは，直線距離(ユークリッド距離)で測っているからであり，絶対値の和Σ|x-a|だとマンハッタン距離になります。

Σ(x-a)²は，aが平均のときに最小になります。Σ|x-a|の場合は，aが中央値のときに最小になります。

n個のデータをベクトルX=(x1,x2,…,xn)，その平均をaとしてA=(a,a,…,a)とすると，X∙A=|A|²が成り立ちます。XとAのなす角をθとすると|X|cosθ=|A|，つまり|X|≧|A|で等号成立条件はθ=0°です。

分散は|X-A|²/nと表せます。これを展開すると|X|²/n-|A|²/nになり，「分散=2乗の平均-平均の2乗」を導くことができます。

図に表すと∠OAX=90°となり，平均は偏差の2乗和|X-A|²を最小にする意味があることがよく分かります。

2次元の散布図にn個のデータが正n角形の頂点となるように配置されているとき，相関係数は0であることを証明して下さい。

解答例を作りました。
https://hamadajuku.com/publish/misc/correlation0.pdf

正12角形にすると相関係数は0になります。
http://ggbtu.be/m1842949
0になるのは正12角形のほかにどんなときがあるでしょうか。

正三角形，正方形，十字型，星型のような回転対称な形，またはそれらの複合形であれば0になります。ただし3回対称以上とします。もちろんそんなに均整のとれた形ではなくバラバラな配置でも，0になるものはいくらでもあります。

散布図を複素数平面と考えてみます。データz=x+iyを平均Σz/nを原点として2乗すると分散・共分散が見えてきます。Σz²/nの実部がx,yの分散の差，Σz²/nの虚部が共分散(ただし2倍)になります。

複素数を2乗すると偏角が2倍になります。つまり，直線y=x付近のデータは2乗するとy軸の正の部分の近くに集まり，直線y=-x付近のデータは2乗するとy軸の負の部分の近くに集まります。そうやってデータの相関をy軸方向に並べて測っていると言えます。

これは共分散の意味を直感的に捉える方法として優れています。また，偏差をなぜ2乗するのか？という疑問(高校数学の範囲で説明するのはなかなか難しい)についても，ある程度の納得を与えてくれます。しかし，数Ⅰで学習する内容なのに数Ⅲまで使えない説明というのが残念です。