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正12角形にすると相関係数は0になります。
http://ggbtu.be/m1842949
0になるのは正12角形のほかにどんなときがあるでしょうか。

正三角形，正方形，十字型，星型のような回転対称な形，またはそれらの複合形であれば0になります。ただし3回対称以上とします。もちろんそんなに均整のとれた形ではなくバラバラな配置でも，0になるものはいくらでもあります。

散布図を複素数平面と考えてみます。データz=x+iyを平均Σz/nを原点として2乗すると分散・共分散が見えてきます。Σz²/nの実部がx,yの分散の差，Σz²/nの虚部が共分散(ただし2倍)になります。

複素数を2乗すると偏角が2倍になります。つまり，直線y=x付近のデータは2乗するとy軸の正の部分の近くに集まり，直線y=-x付近のデータは2乗するとy軸の負の部分の近くに集まります。そうやってデータの相関をy軸方向に並べて測っていると言えます。

これは共分散の意味を直感的に捉える方法として優れています。また，偏差をなぜ2乗するのか？という疑問(高校数学の範囲で説明するのはなかなか難しい)についても，ある程度の納得を与えてくれます。しかし，数Ⅰで学習する内容なのに数Ⅲまで使えない説明というのが残念です。

GeoGebraで12角形の頂点から相関係数を計算する教材を作りました。頂点を動かしながら値の変化を観察できます。
http://ggbtu.be/mZTTnA8ZT

表計算ビューを表示すると動作が遅いので，図のみ表示するバージョンも作りました。
http://ggbtu.be/m1842949

和が0のベクトルというと，2PA+3PB+4PC=0(PA,PB,PCはベクトル)から点Pの位置や面積比△PAB:△PBC:△PCAを求める問題を連想します。これも，点Aに質量2，点Bに質量3，点Cに質量4の質点があり，点Pがその重心になっていると考えられます。

ところで3つの質量が等しければ，点Pはただの三角形の重心です。そう考えたいときは，点Pを基準とする位置ベクトルで2a,3b,4cにあたる点をそれぞれA',B',C'とすれば，点Pは三角形A'B'C'の重心になります。

そうすれば，三角形の重心の性質を利用して解くこともできます。△PA'B'=△PB'C'=△PC'A'から△PAB:△PBC:△PCAが求められ，それを使って点Pの位置が求められます。

2変量×n個の偏差xi,yiをベクトルとして考えるとき，n個の2次元ベクトル(x1,y1),...,(xn,yn)とみたり，2個のn次元ベクトル(x1,...,xn),(y1,...,yn)とみたりしますが，偏差ベクトルというときは後者の方を指します。

散布図を考えるときは，前者の2次元ベクトル(x1,y1),...,(xn,yn)に注目しています。一方，xとyの相関係数を考えるときは，後者の偏差ベクトル(x1,...,xn),(y1,...,yn)に注目しています。相関係数は2つの偏差ベクトルのなす角θの余弦cosθです。

偏差には和が0という性質があります。偏差は平均が0となるようにデータをシフトさせたものだからです。前者の2次元ベクトルで言えば，(x1,y1)+...+(xn,yn)=(0,0)ということです。これは，n個の同じ質量の質点が原点を重心とするように散らばっているイメージです。

縦a，横bの長方形の面積abは，2つの正方形の面積a²，b²の相乗平均とみなすことができます。

共分散は，長方形の面積(ただし符号つき)の相加平均をとる形になっています。それぞれの長方形の面積は正方形の面積の相乗平均とみなせるので，共分散は正方形の面積の相乗平均(ただし符号つき)の相加平均といえます。

すると，相関係数 r[x,y]=s[x,y]/s[x]s[y] は，分子が「正方形の面積の相乗平均の相加平均」，分母が「正方形の面積の相加平均の相乗平均」で，その違いを比で表したものとみなすことができます。