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もうすぐ48歳になります。48は約数が10個もあり，これまでの歳の中で約数が最も多い数です。その前は36歳の時で，約数の個数は9個でした。12年ぶりの更新です。更新の歳を並べてみると，1歳(1個)，2歳(2個)，4歳(3個)，6歳(4個)，12歳(6個)，24歳(8個)，36歳(9個)，48歳(10個)，60歳(12個)，120歳(16個)，…となります。次に更新できるのは60歳で，それが最後になりそうです。

調べてみると，約数の個数を更新する数にはちゃんと名前があり，「高度合成数」といいます。

“高度合成数は，伝統的な度量衡の体系にしばしば現れ (例 : 時間の24や60，角度の360，ダースの12など)，また工学的な設計によく使われる。これは除算を含む計算が簡単に行える利点による” (Wikipediaより)

1次の近似式については，$x=a$ まわりの近似式，$x=0$ まわりの近似式，微小変化の公式といろいろありますが，どれも「関数のグラフも接点の近くでは接線とほとんど同じ」と言っているだけなので，接線の求め方さえ知っていれば，わざわざ覚えなくても大丈夫です。

ただし2次以上の近似式にも対応したいなら，マクローリン展開の公式は覚えておくといいです。$n$ 次の近似に使うだけでなく，これをもとにした極限や不等式の問題が出たときにその背景が分かるので，1つ覚えておくだけで大変コスパのいい公式です。しかも作りは案外簡単で，忘れかかってもちょっと考えるだけですぐ再構成できます。

マクローリン展開はこんな式です。$$\begin{align*}f(x)&=\sum_{n=0}^{\infty}\[f^{(n)}(0)/n!]x^n\\&=f(0)+f'(0)x+\[f''(0)/2!]x^2+\cdots\end{align*}$$本当はこれが成り立つ条件を厳密に考える必要がありますが，高校の範囲ではこの式と大まかなイメージを持っておくだけでも構いません。右辺を2項目で切れば1次の近似式，3項目で切れば2次の近似式です。

この式が何をしたいのかざっくり言うと，関数 $f(x)$ のグラフに「高次の接線」を引こうとしています。1次式では直線しか表せませんが，2次式なら放物線，3次，4次と上げればもっと柔軟な曲線を表せます。それらを使えば直線よりもずっとフィット感の良い接線(接曲線?)を引けます。

大まかなイメージというのは，$f(0)=g(0)$ だけならただ同じ点を通っているだけ。さらに $f'(0)=g'(0)$ ならその点を通るときの向きが一致。さらに $f''(0)=g''(0)$ ならその向きの変化のしかたまで一致。さらに $f^{(3)}(0)=g^{(3)}(0)$ なら・・・と，この一致が深くなるほど $x=0$ において2つのグラフが似てくるというイメージです。マクローリン展開の式は，これが無限に一致するように作られています。

ベクトルを単位ベクトルに直すことを「ベクトルの正規化(normalization)」といいます。「データの標準化(standardization)」というと，平均が0，分散が1になるようにデータを変換することですが，その過程で偏差ベクトルの正規化が行われています。

ただし，統計学や情報学の分野で「正規化」というと，通常は最小値が0，最大値が1になるようにデータを変換することを指し，「データの標準化」とは区別されるようです。「データの標準化」には「ベクトルの正規化」が使われているのに，それは「データの正規化」とは別というややこしいことになっています。

データの標準化 $\[x-\bar{x}/s_x]$ を行うと標準偏差が $1$ になるのは，単位ベクトル $\vc{a}/|\vc{a}|$ の大きさが $1$ になることと同じです。

簡単に説明すると，データ $\vc{x}=(x_i)\;(i=1,2,\cdots,n)$ に対し，偏差ベクトルを $\vc{u}=(u_i)=(x_i-\bar{x})$ で定めると，$\vc{x}$ の標準偏差 $s_x$ は，偏差ベクトル $\vc{u}$ のノルムとみなせます。$$s_x=\r{\[1/n]\textstyle\sum{u_i}^2}=\r{\[1/n]}\,\|\vc{u}\|_2=:\|\vc{u}\|_s$$

つまりデータの標準化 $\[x-\bar{x}/s_x]$ は，データの偏差ベクトル $\vc{u}$ を $\|\vc{u}\|_s$ で割ることでそのノルムを $1$ にする操作であり，単位ベクトル $\vc{a}/|\vc{a}|$ と同じアイデアです。

標準偏差が偏差ベクトルのノルムであることは次を意味します。

1. $\|\vc{u}\|_s=0~\douti~\vc{u}=\vc{0}$
2. $\|a\vc{u}\|_s=|a|\,\|\vc{u}\|_s$
3. $\|\vc{u_1}+\vc{u_2}\|_s\leqq\|\vc{u_1}\|_s+\|\vc{u_2}\|_s$

中3向け，2辺の長さ $x$，$y$ とその間の角 $\theta$ から三角形の面積を求める方法です。$x$，$y$ は何でもいいので，面積の分かる適当な三角形を作り，その2辺の長さを伸縮させて求める三角形に合わせます。
$\theta=75\deg$ の例です。

$\theta$ が $30\deg$，$45\deg$，$60\deg$，$90\deg$，$120\deg$，$135\deg$，$150\deg$ であればわざわざこんな方法をとらなくてもいいですが，$15\deg$，$75\deg$，$105\deg$，$165\deg$ にも通用するので，中3の時点では汎用性が高い方法です。

$165\deg$ は「面積の分かる適当な三角形」が作りにくいですが，例えば $15\deg$ の内角をもつ三角形を作っておいて，その外角を使うといいです。

ここまで考えれば，角が $\theta$ でも $180\deg-\theta$ でも三角形の面積は変わらないことに気付くと思うので，ここからさらなる一般化を考えて，$\sin\theta=\sin(180\deg-\theta)$ や $S=\[1/2]ab\sin C$ の考えに向かうのもいいでしょう。

ちなみに，次のような方法で面積を求めることもできます。図としてはこちらの方が分かりやすいかもしれません。

立方体(青色)を，緑色の正三角形の面に関して対称移動し，別の立方体(赤色)をつくった様子です。この図に示されている全ての点が格子点になっています。