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数学には無名関数を表すリテラル式が存在しない(少なくとも一般的なものは無い)のですが，無名関数に引数を直接作用させる書き方であれば一応あります。$$x^2+3x+4\;\Big|_{x=1}=8$$ただし，これも $x^2+3x+4$ の部分だけ書いても関数型とは言えないので，やはり無名関数を表現しているとは言えません。

それに，この書き方はあまり見た目も良くありません。もともと $f(1)$ という表記はあるのですから，$\{$関数型を返す式$\}(1)$ と書けるようにするべきです。例えばラムダ式を使って，$$\{\,x\rightarrow x^2+3x+4\,\}(1)=8$$と書けると嬉しいのですが。

ちなみに，$\{\,x^2+3x+4\,\}(x=1)=8$ ではダメです。関数部分だけを取り出したとき引数の文字が不明です。せっかくならその部分が独立して関数リテラルとなるような書き方にし，$$f=\{\,x\rightarrow x^2+3x+4\,\}$$と関数 $f$ を定義できるようにすれば合理的です。

「s.t.」は such that の略だと思っていましたが，経済学の本を読むと subject to の略だと書かれていることが多いです。どちらも「～の条件を満たすような」という意味に違いはなく，どちらで捉えても成り立つのは面白いです。

例えば，$\exists x\in\mathbb{R}~~\text{s.t.}~~f(x)\gt0$ であれば「 $f(x)\gt0$ を満たすような実数 $x$ が存在する」という意味です。

$\big[~~\big]_a^b$ には曖昧なところがあって，$\int_a^b 2txdt=\big[\,t^2x\,\big]_a^b$ と書かれていれば分かりますが，$\big[\,t^2x\,\big]_a^b$ だけ切り取られると，$t$ と $x$ のどちらに値を代入するのか分からなくなります。

$\big[F(t)\big]_a^b$ は $\big[F(t)\big]_{t=a}^{t=b}$ を省略した書き方なので，どの文字についての関数なのか分かりにくいときは，$\big[\,t^2x\,\big]_{t=a}^{t=b}$ と書けばよいでしょう。

定積分で使う記法 $\big[F(x)\big]_a^b$ を数列の和にも利用してみました。$$\begin{align*}\sum_{k=5}^9k=&\Big[\,\frac{k(k+1)}2\,\Big]_4^9\\a_n=&\Big[\,S_k\,\Big]_{n-1}^n\end{align*}$$

$n(\{1,2,3\})=3$ という書き方は可能です。集合 $A$ の要素の個数を $n(A)$ と表すことと，集合 $A$ の定義を $A=\{1,2,3\}$ と書くことを認めた以上は，それを入れ子にした式も当然認められます。あまり見かけませんが正しい表記です。

前にも書きましたが，$1\in\{1,2,3\}$ や $\{1\}\subset\{1,2,3\}$ や $\{1,2\}\cap\{2,3\}=\{2\}$ も認められます。要するに，集合に対して認められた式は，それが変数表記であってもリテラル表記であっても全く同等に認められます。

確かこれはベクトルの内積から出た話だったと思います。$$(2,\,1)\!\cdot\!(1,\,3)=5$$と書いてもよいかという話ですが，$$\vc{a}=(2,\,1)，\vc{b}=(1,\,3)，\vc{a}\!\cdot\!\vc{b}=5$$という式が認められている以上は，もちろん正しいです。

ベクトルの大きさを $|(2,\,1)|=\r{5}$ と表すこともできます。

集合 $A$ の要素の個数を，高校では $n(A)$ と表しますが，大学ではあまり見かけません。代わりに $|A|$ や $\#A$ と表します。個人的には $|A|$ が好みです。

高校では $A$ が有限集合の場合しか考えませんが，大学では個数の概念を無限集合まで拡張し，$|A|$ や $\#A$ を $A$ の濃度(cardinality)と呼ぶようになります。その由来で $\text{card}(A)$ と表すこともあるようですが，これはあまり見かけない気がします。