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「s.t.」は such that の略だと思っていましたが，経済学の本を読むと subject to の略だと書かれていることが多いです。どちらも「～の条件を満たすような」という意味に違いはなく，どちらで捉えても成り立つのは面白いです。

例えば，$\exists x\in\mathbb{R}~~\text{s.t.}~~f(x)\gt0$ であれば「 $f(x)\gt0$ を満たすような実数 $x$ が存在する」という意味です。

$\big[~~\big]_a^b$ には曖昧なところがあって，$\int_a^b 2txdt=\big[\,t^2x\,\big]_a^b$ と書かれていれば分かりますが，$\big[\,t^2x\,\big]_a^b$ だけ切り取られると，$t$ と $x$ のどちらに値を代入するのか分からなくなります。

$\big[F(t)\big]_a^b$ は $\big[F(t)\big]_{t=a}^{t=b}$ を省略した書き方なので，どの文字についての関数なのか分かりにくいときは，$\big[\,t^2x\,\big]_{t=a}^{t=b}$ と書けばよいでしょう。

定積分で使う記法 $\big[F(x)\big]_a^b$ を数列の和にも利用してみました。$$\begin{align*}\sum_{k=5}^9k=&\Big[\,\frac{k(k+1)}2\,\Big]_4^9\\a_n=&\Big[\,S_k\,\Big]_{n-1}^n\end{align*}$$

$n(\{1,2,3\})=3$ という書き方は可能です。集合 $A$ の要素の個数を $n(A)$ と表すことと，集合 $A$ の定義を $A=\{1,2,3\}$ と書くことを認めた以上は，それを入れ子にした式も当然認められます。あまり見かけませんが正しい表記です。

前にも書きましたが，$1\in\{1,2,3\}$ や $\{1\}\subset\{1,2,3\}$ や $\{1,2\}\cap\{2,3\}=\{2\}$ も認められます。要するに，集合に対して認められた式は，それが変数表記であってもリテラル表記であっても全く同等に認められます。

確かこれはベクトルの内積から出た話だったと思います。$$(2,\,1)\!\cdot\!(1,\,3)=5$$と書いてもよいかという話ですが，$$\vc{a}=(2,\,1)，\vc{b}=(1,\,3)，\vc{a}\!\cdot\!\vc{b}=5$$という式が認められている以上は，もちろん正しいです。

ベクトルの大きさを $|(2,\,1)|=\r{5}$ と表すこともできます。

集合 $A$ の要素の個数を，高校では $n(A)$ と表しますが，大学ではあまり見かけません。代わりに $|A|$ や $\#A$ と表します。個人的には $|A|$ が好みです。

高校では $A$ が有限集合の場合しか考えませんが，大学では個数の概念を無限集合まで拡張し，$|A|$ や $\#A$ を $A$ の濃度(cardinality)と呼ぶようになります。その由来で $\text{card}(A)$ と表すこともあるようですが，これはあまり見かけない気がします。

もうすぐ48歳になります。48は約数が10個もあり，これまでの歳の中で約数が最も多い数です。その前は36歳の時で，約数の個数は9個でした。12年ぶりの更新です。更新の歳を並べてみると，1歳(1個)，2歳(2個)，4歳(3個)，6歳(4個)，12歳(6個)，24歳(8個)，36歳(9個)，48歳(10個)，60歳(12個)，120歳(16個)，…となります。次に更新できるのは60歳で，それが最後になりそうです。

調べてみると，約数の個数を更新する数にはちゃんと名前があり，「高度合成数」といいます。

“高度合成数は，伝統的な度量衡の体系にしばしば現れ (例 : 時間の24や60，角度の360，ダースの12など)，また工学的な設計によく使われる。これは除算を含む計算が簡単に行える利点による” (Wikipediaより)