Twitter

白球が10個，赤玉が $n$ 個入っている箱から，同時に2個の球を取り出すとき，白球と赤玉が1個ずつである確率を $p_n$ とします。このとき $p_n$ が最大になる $n$ を求めよという問題について，直感的には $n=10$ だろうと予想できますが，解いてみると正解は $n=10$ と $n=9$ になります。

なぜ $n=9$ も答えになるのか，直感的に納得できる説明を考えてみると面白いです。

直角のことを $\angle R$ と表すことがあります。例えば $\angle\text{ABC}=\angle R$ と書くと，$\angle\text{ABC}=90\deg$ という意味になります。昔は中高の数学でも使われることがあったのですが，今は全く見かけなくなりました。$R$ は right angle の頭文字です。

"∟" という記号もあるらしく，$∟\text{ABC}$ と書いて $\angle\text{ABC}=90\deg$ を表すそうですが，これは実際に使われているところを見たことがありません。

コンピューターで対数関数を使うとき，処理系によって log(x)，ln(x)，lg(x) の意味がバラバラなのが困ります。

ln(x) があれば間違いなく自然対数ですが，ln(x) の代わりに log(x) が自然対数だったり，そうではなく log(x) は常用対数だったり，ln(x) と log(x) のどちらか一方しか存在しなかったり，さらに lg(x) という関数があって，それが常用対数だったり，底が2の対数だったりします。

自然対数 ln(x) しかない処理系で常用対数を使いたい場合は ln(x)/ln(10) と入力してください。

$e$ を底とする対数を「自然対数」というように，$e$ を底とする指数関数を「自然指数関数」ということがあるようです。でもあまり一般的ではないと思います。

$e$ にはネイピア数という名前があるのですが，高校ではその名前は習わず，代わりに「自然対数の底」と呼んでいます。しかし，自然対数のことを「$e$ を底とする対数」と説明するのなら，$e$ の説明には自然対数の名は使わず，直接ネイピア数と呼ぶべきです。

ネイピア数を $e$ で表したのはオイラーです。$e$ の由来はEularの頭文字ではないか，あるいは指数関数を表すexponentialの頭文字ではないかと言われたりしますが，実際のところは不明だそうです。

数学でパイプ演算子 $\rhd$ を使う。$$\begin{align*}3\;\rhd\;&\{\,x\rightarrow 2x\,\}=6\\3\;\rhd\;&\{\,x\rightarrow 2x\,\}\rhd\{\,x\rightarrow x^2\,\}=36\\&\{\,x\rightarrow 2x\,\}\rhd\{\,x\rightarrow x^2\,\}=\{\,x\rightarrow 4x^2\,\}\end{align*}$$

$f(x)$ や合成演算子 $\circ$ との対応。$$\begin{align*}f(x)&=x\rhd f\\g\circ f&=f\rhd g\\(g\circ f)(x)&=x\rhd f\rhd g\end{align*}$$

パイプ演算子 $\rhd$ と合成 $\blacktriangleright$ は区別した方が良いという考えもあります。$$\begin{align*}f(x)&=x\rhd f\\g\circ f&=f\blacktriangleright g\\(g\circ f)(x)&=x\rhd(f\blacktriangleright g)\\&=(x\rhd f)\rhd g\end{align*}$$

最近授業でラグランジュの未定乗数法を扱う機会がありました。制約条件 $g(x,y)=0$ のもとで目的関数 $f(x,y)$ を最大化・最小化する問題で，最適解 $(x,y)$ の候補を求める方法です。図は，$f(x,y)=xy$，$g(x,y)=x^2+2y^2-8$，$x\gt0$，$y\gt0$ の場合です。

曲面 $z=xy$ を山の斜面，曲線 $x^2+2y^2-8=0$ を山道とすると，この山道で最も標高が高い地点を求めるには，山道と等高線が接しているところを探せばよいというものです。答えは $(2,\r2)$ です。一般にはそういう地点は最高点の候補でしかありませんが，この例ではそのまま答えになっています。

点 $(x,y)$ における $f$ と $g$ の勾配(傾きが最も急な方向)を求めると，$\nabla f=(y,x)$，$\nabla g=(2x,4y)$ です。これはそれぞれ等高線と山道の法線ベクトルなっていて，最高点ではこれが平行になることから，$\nabla f=k\nabla g$ と表せます。これと制約条件 $x^2+2y^2-8=0$ で連立方程式ができ，それを解くと $x=2$，$y=\r2$ を得ます。

偏微分を使うので大学入試には出ませんが，線形計画法の微分バージョンとしてイメージだけでも持っておけば，最適化問題を思考するときの助けになると思います。