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台湾の國中教育會考の過去問です。

図形問題です。

記述問題もあります。

今日は円周率の日です。
Maximaで円周率を求めてみます。
a:1$
b:4$
c:b$
for i:1 thru 100 do (
    a:1/(2*i+1+i^2*a),
    b:((2*i+1)*a-1)*b,
    c:c+b
)$
fpprec:50$
print(bfloat(c))$
　↓
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751b0

上のコードはこれを計算しています。

次のように書くこともできます。
p:[1,0]$
q:[1,4]$
for n:1 thru 100 do (
    r:(2*n+1)*q+n^2*p,
    p:q,
    q:r
)$
fpprec:50$
print(bfloat(r[2]/r[1]))$
　↓
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751b0

この漸化式です。

今日 2022/02/22 は，8個の数字が2種類の数字だけで表される日です。次は 2111/11/11 です。

0001/01/01 から 9999/12/31 の間に，8個の数字が2種類の数字だけで表される日は全部で643回あり，今日はその391番目にあたります。
8個の数字が1種類の数字だけで表される日は 1111/11/11 の1回だけです。

どの4点を結んでも正方形ができないように配置できる点の最大数を考えています。
3×3 → 6個
4×4 → 10個
5×5 → 15個
6×6 → 21個

7×7以上は現時点で分かっている最大数です。これが本当の最大値かどうか確認はとれていません。
7×7 → 27個
8×8 → 34個
9×9 → 41個
10×10 → 49個

与えられた点から4点を選んで正方形をつくるパズルです。

答えです。それぞれ答えは1つしかありません。

関数の合成について g∘f=f∘g は一般には成り立ちませんが，f と g によっては成り立つこともあります。それはどのような場合があるでしょうか。

すぐ分かる例は，
f = g (2つが同一の関数のとき)
f = id (一方が恒等関数 f(x)=x のとき)
f = g⁻¹ (互いに逆関数のとき，ただし共通の定義域において)

1次関数では，
f(x)=x+2，g(x)=x+3 や，
f(x)=2x，g(x)=3x があります。

これは，+，× がそれぞれ交換法則・結合法則を満たすからです。+ の場合は，
(g∘f)(x)
=(x+2)+3
=x+(2+3)
=x+(3+2)
=(x+3)+2
=(f∘g)(x)

f，g が1次関数のとき，g∘f=f∘g となる必要十分条件は何でしょうか。f(x)=ax+b，g(x)=cx+d とおいて調べてみてください。
すでにあげた例（同一の関数，一方が恒等関数，互いに逆関数，+，×の交換法則・結合法則によるもの）以外にも見つかるはずです。

f，g が1次関数と2次関数の場合，あるいは2次関数どうしの場合はどうでしょうか。
これは自明な例しかなく，前者は一方が恒等関数のとき，後者は同一の関数になる場合に限られます。