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Twitterで数学に関する話題を発信しています。本家のサイトはログインしなければ閲覧できない仕様になってしまったので,当サイトに移して誰でも見られるようにしました。(2023.8.1)

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

$y$ の最大値が $a$ であることを証明するには,$y\leqq a$ とその等号が成り立つ場合があることを確かめればよいのですが,あらかじめ $y=a$ の成立が明らかであれば,あとは $y\gt a$ が成り立たないことを示す方が自然という場合もあります。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

通常の確率 $P(A)$ も全事象 $U$ を条件とする条件付き確率とみなすことができます。つまり,$P(A)=P_U(A)$ です。ただし,わざわざ $U$ を付けて表すのは,整数を書くのに分母が $1$ の分数を毎回書くようなもので,無駄なので普通は省きます。特に強調したい意図があるときだけ書いてください。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

条件付き確率の簡単な例です。Uを出発して,AかBを経由して,XかYかZに到着します。道幅は分岐の比率を表しています。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

A,Bを経由する確率は,それぞれ
$P(A)=\[7/10]$,$P(B)=\[3/10]$
X,Y,Zに到着する確率は,それぞれ
$P(X)=\[4/10]$,$P(Y)=\[5/10]$,$P(Z)=\[1/10]$
Aを経由したとき,X,Yに到着する確率は,それぞれ
$P_A(X)=\[4/7]$,$P_A(Y)=\[3/7]$
Yに到着したとき,A,Bを経由してきた確率は,それぞれ
$P_Y(A)=\[3/5]$,$P_Y(B)=\[2/5]$

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

$P_Y(A)$ や $P_Y(B)$ のような時間を逆行して考えるタイプの条件付き確率は「原因の確率」とよばれています。分かりにくいという人も多いですが,こういうシンプルな例で考えれば納得しやすいと思います。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

ベクトルの方向余弦は3次元になって登場しますが,2次元にも方向余弦はあります。3次元で分かりにくい人は,まず2次元で理解しておくといいです。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

方向余弦は,そのベクトルと同じ向きの単位ベクトルの成分のことで,それは座標軸の正の向きとなす角のcosで表せるということです。これを2次元で理解しておけば,3次元になっても同じです。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

数式を表示できるようになりました。
2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解は $x=\[-b\pm\r{b^2-4ac}/2a]$ です。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

台湾の國中教育會考の過去問です。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

図形問題です。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

記述問題もあります。