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教科書では，ベクトルの内積の分配法則 a∙(b+c) = a∙b+a∙c は，成分内積の公式 a∙b=a₁b₁+a₂b₂ の後で証明します。その方が簡単だからですが，内積の定義 a∙b=|a||b|cosθ から証明するのも十分簡単なので，やったことがない人は試してみてください。

a, bはベクトルとします。
|a+b|² = |a|²+2a∙b+|b|²
|a+b+c|² = |a|²+|b|²+|c|²+2a∙b+2b∙c+2c∙a
|a+b|³ = ?

y=tanθのグラフの形は「正接曲線」といいます。教科書には書かれていない言葉なので聞き慣れないかもしれませんが，「正弦曲線」と同様に「正接曲線」といいます。

「αに-αを代入する」「nにn+1を代入する」のように，代入先と同じ文字を含む式を代入することがあります。このような場合，教科書は「代入する」ではなく「置き換える」と書いています。

教科書は，同じ値のものに置き換える場合にしか「代入」と言わないようです。「x=3を代入」「t=a+bを代入」のように等式で表せる場合は「代入」ですが，「α=-α」や「n=n+1」は等式にするとおかしいので，「代入」ではなく「置き換え」と書いています。

ただ，これは教材として表現を統一するという出版レベルの話ですから，受験生は気にせず「nにn+1を代入」と言っても構わないでしょう。
ただし，これを「n=n+1を代入」のように等式で書くのはおかしいので避けてください。

ちなみにプログラミング言語では，等価と代入に同じ「=」ではなく，別々の表現をとっている場合が多いです。

3項間漸化式 aₙ₊₂+paₙ₊₁+qaₙ=0 について，特性方程式 t²+pt+q=0 の解が虚数になる問題はあまり見かけませんが，実数解の場合と全く同じ手続きで解けます。

例えば，a₁=1，a₂=1，aₙ₊₂+aₙ₊₁+2aₙ=0 の場合，特性方程式 t²+t+2=0 の解は，
α=(-1+√7i)/2
β=(-1-√7i)/2
これを使って一般項を求めると(求め方はいつも通り)
aₙ={(1-β)αⁿ⁻¹-(1-α)βⁿ⁻¹} / (α-β)
すべての項は整数なのに，一般項は虚数を使った表現になるのが面白いです。

Maximaで確かめるためのスクリプトです。
a1:1$
a2:1$
kai:solve(t^2+t+2=0)$
p:rhs(kai[1])$
q:rhs(kai[2])$
define(
    a(n),
    ((a2-q*a1)*p^(n-1)-(a2-p*a1)*q^(n-1))
    /(p-q)
);
for i:1 thru 6 do (
    print("a",i,"=",ratsimp(a(i)))
)$


limは基本的には極限値を返しますが，無限大に発散する場合にはlim𝑓(𝑥)=∞という書き方が認められています。認められた以上は正しいのですが，本来あまり行儀の良い書き方ではありません。

limにとって∞や-∞は戻り値ではなく，JavaやC#で言うところの "例外" のようなものと考えられます。lim𝑓(𝑥)と書いてもコンパイルエラーにはなりませんが，参照すると戻り値が決定できずに例外が発生し，制御は例外処理に移ると考えるのが妥当でしょう。

そういう意味では「lim𝑓(𝑥)は∞に発散する」くらいに書くのが正しいと思いますが，これを「lim𝑓(𝑥)=∞」と書くことが認められています。相等関係として扱うわけではないのに「=」を使うのは違和感があります。

でもわざわざ「lim𝑓(𝑥)は∞に発散する」と書かされるのは面倒なので，ありがたく使います。

一方で，極限がない場合のlimの扱いは不明確です。あくまで学校数学の話ですが，「lim𝑓(𝑥)は存在しない」と書いている教科書（e.g.啓林館）もあれば，lim𝑓(𝑥)と書くことを避けて「𝑥→𝑎のとき𝑓(𝑥)の極限はない」と書いている教科書（e.g.数研出版）もあります。

ところが，振動する数列に関しては，調べた限りどの教科書も「lim𝑎ₙは振動する」とは書かず，「{𝑎ₙ}は振動する」と書いています。どうやらこの場合のlimは実行時の例外ではなくコンパイルエラーとみなされるようです。これはちょっとstrictすぎないかなと思います。

あくまで出版物のルールです。受験生はあまり気にしなくていいでしょう。