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数列で Σk² の公式を習うと，2乗の和を求めるという話から，分散を連想するかも知れません。Σk² の公式を使って 1,2,3,…,n の分散を求めてみて下さい。(答えは (n²-1)/12 です)

シンプルな問題から12という数が現れるのが面白いと思います。ちなみに，区間 [0,1] の一様分布で分散を求めても 1/12 になります。

公式 Σk²=n(n+1)(2n+1)/6 は，漸化式 f(n)=f(n-1)+n²，f(1)=1 から導くこともできます。

3倍角の公式を忘れたときは，オイラーの公式 e^iθ=cosθ+isinθ の両辺を3乗するといいです。

Σk = n(n+1)/2
Σk(k+1) = n(n+1)(n+2)/3
Σk(k+1)(k+2) = n(n+1)(n+2)(n+3)/4

「連続する整数」のことを「隣接する整数」と表現している本があります。実数などに使う連続という言葉を，離散的な整数に使うべきではないという考えです。また，整数にはすぐ隣の数があるのに対して，実数や有理数にはありません。このような性質に隣接という言葉は合っています。

xがaとbの間にあることを表したいとき，a<x<b か b<x<a か，aとbの大小で場合分けしなければ書けないのが面倒なことがあります。x∈(a,b) はどうかなと思ったら，(a,b) は a≧b のとき空集合になるそうでダメでした。

意地でも場合分けをしない書き方を考えてみると…
x∈(a,b)∪(b,a)
(x-a)(x-b)<0
|2x-(a+b)|<|a-b|
min{a,b}<x<max{a,b}
x∈{ta+(1-t)b|0<t<1}

最後の x∈{ta+(1-t)b|0<t<1} は失敗です。a=bのときが他と異なります。