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a₁≦a₂≦…≦an，b₁≦b₂≦…≦bnのとき，Σaₓbₓ/n≧(Σaₓ/n)(Σbₓ/n)が成り立ちます。これを「チェビシェフの不等式」といいます。ただし確率論に同名の不等式があるので，区別する場合はこちらを「チェビシェフの和の不等式」とよびます。

a₁≧a₂≧…≧an，b₁≧b₂≧…≧bnでも同様に成り立ちます。つまり(a,b)が(増,増)または(減,減)ならば成り立ちます。(増,減)や(減,増)ならば不等号の向きが逆になって，Σaₓbₓ/n≦(Σaₓ/n)(Σbₓ/n)が成り立ちます。

(左辺)-(右辺)=Σaₓbₓ/n-(Σaₓ/n)(Σbₓ/n)は，(積の平均)-(平均の積)という形になっているので，aとbの共分散です。つまり，(左辺)-(右辺)の符号はa,bの相関の正負を表しています。

もちろん，a,bが単調でなくても共分散や相関係数は存在しますから，チェビシェフの不等式の定理の逆は成り立ちません。(n≧3)

コーシー・シュワルツの不等式 (Σaₓ²)(Σbₓ²)≧(Σaₓbₓ)² は，ベクトルを使って |a|²|b|²≧(a∙b)² と理解しましょう。等号成立条件は cosθ=±1 すなわち a//b です。

両辺を (Σaₓ²)(Σbₓ²) で割ると，1≧(Σaₓbₓ)²/(Σaₓ²)(Σbₓ²)=(Sab/SaSb)²=(Rab)² となって，相関係数 -1≦R≦1 につながります。

空間ベクトルのついでに平面の方程式を習うと，ax+by+cz+d=0の形で書かれていると思います。ベクトルとのつながりでそうなるのですが，場合によってはz=ax+by+cという陽関数表示の方が便利なこともありますので，選択肢として両方持っておくようにして下さい。

平面上の直線について，ax+by+c=0とy=ax+bの特徴はよく知っていると思います。空間内の平面についても同様と考えて使い分けて下さい。

z=ax+by+cのアイデアは3次元空間でなくても使います。座標平面上でax+by+cを扱うときは，それを空間内の平面と考えることで理解しやすくなります。線形計画法，正領域と負領域，点と直線の距離の公式など。

点と直線の距離の公式 d=|ap+bq+c|/√a²+b² を，ベクトルの内積を利用して証明して下さい。

点P(p,q)，直線ax+by+c=0，直線上の任意の点T(x,y)とすると，距離dはベクトルTPと直線の法線ベクトル(大きさ1)との内積です。
d=|(p-x,q-y)∙(a,b)/√a²+b²|=|ap+bq-ax-by|√a²+b²=|ap+bq+c|√a²+b²

絶対値記号をつけるのは，法線ベクトルのとり方が2通りあり，そのうち一方は内積が負になるからです。

変量x,yに対して新しい変量z=x-yを作ると，標準偏差Sと相関係数RについてSz²=Sx²+Sy²-2SxSyRxyが成り立ちます。これは余弦定理の形をしています。つまりSx,Sy,Szを3辺として三角形を作ると，SxとSyの間の角θの余弦cosθが相関係数になります。

GeoGebraで確認してみました。
http://ggbtu.be/m1939573

このことから |Sx-Sy|≦Sz≦Sx+Sy が分かります。
前の等号成立 ⇔ θ=0° ⇔ 相関係数 Rxy=1
後の等号成立 ⇔ θ=180° ⇔ 相関係数 Rxy=-1

相関係数 Rxy>0 ⇔ θは鋭角 ⇔ Sz²<Sx²+Sy²
相関係数 Rxy=0 ⇔ θは直角 ⇔ Sz²=Sx²+Sy²
相関係数 Rxy<0 ⇔ θは鈍角 ⇔ Sz²>Sx²+Sy²
ここでは鋭角は0°，鈍角は180°を含みます。

以上は z=x-y または z=y-x の場合です。z=x+y の場合は Sz²=Sx²+Sy²+2SxSyRxy になります。つまり相関係数の符号の扱いが逆になるだけで，あとは全く同じです。

z=x+yの場合は，
相関係数 Rxy<0 ⇔ θは鋭角 ⇔ Sz²<Sx²+Sy²
相関係数 Rxy=0 ⇔ θは直角 ⇔ Sz²=Sx²+Sy²
相関係数 Rxy>0 ⇔ θは鈍角 ⇔ Sz²>Sx²+Sy²

分散は，データX=(x1,x2,…,xn)が平均A=(a,a,…,a)からどれだけ離れているかを測るものです。このとき偏差の2乗和Σ(x-a)²を求めるのは，直線距離(ユークリッド距離)で測っているからであり，絶対値の和Σ|x-a|だとマンハッタン距離になります。

Σ(x-a)²は，aが平均のときに最小になります。Σ|x-a|の場合は，aが中央値のときに最小になります。