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分数を足すのに，分子どうし分母どうしを足すのは誤りですが，そうやって作った分数にも意味はあります。それぞれの分母を重みとする加重平均になっています。

分数の分子どうし分母どうしを足す意味は，例えば，食塩水の混ぜ合わせを考えると分かります。濃度a/b，c/dの食塩水を混ぜると，濃度は(a+c)/(b+d)になります。

濃さの違う食塩水を混ぜ合わせると中間的な濃さの食塩水になりますが，それを示したものが，加比の理 a/b<(a+c)/(b+d)<c/d です。

加比の理 a/b<(a+c)/(b+d)<c/d は，食塩水の濃度よりも，座標平面上で直線の傾きを比べて説明するのが一般的です。ただし，どちらも直感的すぎて証明というには不十分です。証明は別に行って下さい。

三角関数の微分を習ったら，まずは加法定理，2倍角の公式，半角の公式などを微分して遊びましょう。

内積シリーズ。円 x²+y²=r² 上の点 (a,b) における接線の方程式 ax+by=r² は，ベクトルの内積を使って (a,b)∙(x,y)=r² と表すと，図形的に意味が分かりやすくなります。(ベクトル方程式を学習するときに普通に出てくる話ですがついでに)

「最大値の最小値を求めよ」という問題があります。何の意味があるのか不思議に思うかも知れませんが，例えば，災害による最大の被害を想定してそれが最小になるように対策をとったり，ビジネスで想定される最大の損失が最小となるような行動を選択をしたりと，現実にそういう場面は案外あります。

「りんご，かき，なしを使って5個入りの果物かごを作る方法は何通りありますか。ただし1つも入らない果物があってもよいものとする」
これは重複組合せの問題です。この解き方を○｜法ではなく，あえて順序組分配法で説明してみます。

りんご=1，かき=2，なし=3とします。選んだ番号を小さい順に並べると，例えば1,1,2,2,3となります。これらに順番に0,1,2,3,4を足すと，1,2,4,5,7になります。すると，果物の選び方は1～7の番号から5つを選ぶ組合せに対応するので，7C5=21通りです。

確かに分かりにくいと思います。○｜法を知っている人はそれに置き換えて理解することもできますが，かつてはこの方法が教科書に載っていたそうで，最初に教わるのがこれでは難しいでしょう。対応を考える以前に，果物を数にして足し算をすることに抵抗を感じる生徒も多いと思われます。

三角関数の合成にも内積が使えます。例えば，cosθ+√3sinθ = (1,√3)∙(cosθ,sinθ) = 2×1×cos(間の角) = 2cos(θ-π/3) となります。

これは，加法定理 cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB がベクトルの内積から導けることとアイデアは同じです。

三角関数の合成をわざわざベクトルの内積で表すのは，計算上のメリットよりも，合成の様子が図形的に捉えられるメリットの方が大きいです。

結果をcosではなくsinにしたいのであれば，角にπ/2を足して下さい。
… = 2cos(θ-π/3) = 2sin(θ-π/3+π/2) = 2sin(θ+π/6)