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相加平均・相乗平均をグラフで表現しました。赤がz=(x+y)/2で，青がz=√(xy)です。x>0かつy>0の範囲で赤≧青，特にx=yのときに赤=青であることが確認できます。

(x+y)/2≧√(xy)が成り立つ範囲は「x≧0かつy≧0」ですが，相加平均・相乗平均の関係を言うときは大抵「x>0かつy>0」となっています。これはおそらく相乗平均が意味をもつ範囲に合わせていると思われます。相乗平均はデータに0や負の数があると意味がなくなります。

つまり，平均としての意味は気にせず，(x+y)/2≧√(xy)をただの不等式として見るときは，x,yの範囲は「x≧0かつy≧0」で構いません。

xy+yz+zx>0を表示してみました。iPadのQuickGraph+です。領域表示もできるのですが，あまりきれいではなかったので，境界面のxy+yz+zx=0だけ表示しています。

背理法と対偶法は根本的に証明の構造が異なるから分けて指導するべきという話。相違点だけでなく類似点についても書かれています。指導者向けの内容ですが，高校生が背理法と対偶法を整理するのに読んでも良さそうです。
http://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/03/3-1.pdf

対偶法は¬Bを仮定するのに対して，背理法は¬BとAを仮定するので「思考の自由性は多い」とあります。つけ加えておくと，対偶法には¬Aという明確な目標があるのに対して，背理法には矛盾という漠然とした目標しかなく，議論の方向を定めにくいという欠点があります。その意味では一長一短です。

交わる2つの円と平行線。GeoGebraで作った教材です。円や直線をどんなに動かしても，常に弦が平行になっていることが確認できます。
http://ggbtu.be/m1442389

GeoGebraの教材を共有する実験です。試しに中1理科の凸レンズの教材を出してみました。
http://ggbtu.be/msXgtBXiz

原点にある点Pに対して，「x軸方向に1だけ平行移動して，原点を中心に30度回る」という移動をくり返し適用すると，やがて原点に戻ってくるという図です。

正12角形を動かしてみると，その理由がよく分かります。(この話は以前にも出したことがありますが，動画が投稿できるようになったので，改めて投稿しました)

ちなみに，これは原点から開始しなくても，また，平行移動のベクトルが(1,0)でなくても成り立ちます。