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Global Math Challenge(世界算数大会)に団体で参加しませんか？という勧誘がありました。参加するつもりはないのですが，Webサイトに載っていたサンプル問題は面白かったので紹介しておきます。
https://www.global-math.com/

3^(log[3]5) の値は 5 です。これは対数の定義そのものであって，当たり前です。でも，教科書や参考書でそういう形を見かけることが少ないせいか，最初は気付かない人が意外に多いです。

x=3^(log[3]5) とおいて，この式を変形していくと x=5 が導かれるという解説を見かけることもありますが，それは示し方の1つとして書かれているだけです。そうやって計算するものだとは受け取らないで下さい。

未知の問題に出会ったとき，それを直接解こうとするのではなく，すでに解き方が分かっている別の問題に帰着させようとすることがあります。この考え方をリダクションといいます。例えば，問題から方程式を立てようと試みるのもその1つです。方程式の解き方はすでに知っているからです。

数学者の間では，円周率のπ=3.14…の代わりに，それを2倍にしたτ=6.28…を使うべきという意見も挙がっているそうです。なるほど，確かにその方が円周率を必要とするいろいろな場面で，式表現が自然で分かりやすくなります。以前に話題になったらしいですが，私は今知りました。

高校数学では，集合Aの要素の個数をn(A)と表します。しかし，nがすでに別の意味で使われている問題もあり，その答案にn(A)を使うのは抵抗を感じる場合があります。そんなときは集合の濃度の記号を使って，|A| や #A と表すといいです。そもそも大学ではn(A)は使いません。

ただし，|A| や #A は教科書では定義されていないので，答案に使うときには念のため宣言を書いておきましょう。(結局宣言しなければならないのだったら，何の記号を使っても同じだと言えますが)

ちなみに集合の濃度というのは，有限集合でいえば要素の個数にあたるものを無限集合にも拡張したものです。つまり |A| や #A は，Aが有限集合でも無限集合でも使われます。一方で n(A) は有限集合限定です。

相加平均・相乗平均をグラフで表現しました。赤がz=(x+y)/2で，青がz=√(xy)です。x>0かつy>0の範囲で赤≧青，特にx=yのときに赤=青であることが確認できます。

(x+y)/2≧√(xy)が成り立つ範囲は「x≧0かつy≧0」ですが，相加平均・相乗平均の関係を言うときは大抵「x>0かつy>0」となっています。これはおそらく相乗平均が意味をもつ範囲に合わせていると思われます。相乗平均はデータに0や負の数があると意味がなくなります。

つまり，平均としての意味は気にせず，(x+y)/2≧√(xy)をただの不等式として見るときは，x,yの範囲は「x≧0かつy≧0」で構いません。