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京大特色入試のサンプルに，再帰法が使える問題がありました。「xのx乗のxのx乗乗」のような読み方に対して，式が一意的に決定することを示す問題です。
http://www.sci.kyoto-u.ac.jp/modules/bulletin/index.php?page=article&storyid=1362

この問題は，逆ポーランド記法を知っていると有利です。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86%E3%83%9D%E3%83%BC%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%89%E8%A8%98%E6%B3%95

読み方に括弧をつけるスクリプトを作ってみました。再帰的な構造があることがよく分かります。
https://hamadajuku.com/program/js/postfix.html

カタラン数を知っている人は，この問題のCnがカタラン数であることにすぐ気付くと思います。ただしこの試験はそれだけでは評価されませんので，むしろこの式やその読み方をどのようにカタラン数に関連付けてみせるかを問われていると考えて下さい。

再帰的に考えてみます。例えばx^x^x^xであれば，最後に行う累乗がどれかによって(x)^(x^x^x)，(x^x)^(x^x)，(x^x^x)^(x)の3通りに分けられるので，c4=c1∙c3+c2∙c2+c1∙c3となります。

まずc1=1は明らかです。次にc2=c1∙c1でc2=1を求め，c3=c1∙c2+c2∙c1でc3=2を求め，c4=c1∙c3+c2∙c2+c1∙c3でc4=5を求め，この調子で次々と求めていくとc5=14，c6=42，c7=132になります。

ところでカタラン数といえば，格子の道を対角線をまたがずに進む経路の数になっていることは有名です。では，その経路の選び方とこの問題における式の表現のしかたはどのように対応付けられるでしょうか。考えてみて下さい。

「xのx乗のx乗」であれば，まず「の」を省いて「xx乗x乗」とし，さらに「x」を→，「乗」を↑に置き換えると「→→↑→↑」という経路になります。最初の→は邪魔だったら省いて下さい。

c4=5通りをすべて書き出してみると，
(x^(x^(x^x)))
xのxのxのx乗乗乗 →→→→↑↑↑
(x^((x^x)^x))
xのxのx乗のx乗乗 →→→↑→↑↑
((x^x)^(x^x))
xのx乗のxのx乗乗 →→↑→→↑↑

((x^(x^x))^x)
xのxのx乗乗のx乗 →→→↑↑→↑
(((x^x)^x)^x)
xのx乗のx乗のx乗 →→↑→↑→↑

相加・相乗平均の関係の使い方として，a=a/2+a/2，b=b/3+b/3+b/3のように均等な和に分解するのが有効な場合があります。例えばa,b>0，a²b³が定数のとき，
a+bの最小値をa/2+a/2+b/3+b/3+b/3≧5(a²b³/108)^(1/5)と求めたり，

x>0で，x²+1/xの最小値を，x²+1/x=x²+1/2x+1/2x≧3∙³√(1/4)と求めたりする場合など。かけたときに都合のいい指数になるように分解する個数を決め，等号成立を保証するために均等に分けます。

(1+1/n)ⁿ が単調増加列であることが，相加・相乗平均の関係を使うと簡単に示せることを知って感心しました。

1次方程式にも解の公式はあります。覚えなさいと言われないだけです。

#中3 相似の問題で，8:x=5:3のような方程式ばかり使うのはやめましょう。図から「5→3は3/5倍だから8→xも3/5倍」を読み取って，x=8×3/5という式を直接立てられるように練習して下さい。

#中3 分母の有理化は，倍分よりも約分を優先しましょう。6/√3であれば，6=2×3という分解と，3÷√3=√3という割り算で2√3にします。aは√aで割れるという感覚が大事です。