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立方体の対角線を2つの正三角形で3等分する話ですが，このとき2つの正三角形にはさまれた立体はどんな形か，すぐイメージできるでしょうか。それは正八面体に類似した形なのですが，そう言われてピンとくるでしょうか。

正三角柱をねじって側面の長方形を二等辺三角形にしたような形になっています。これを正反三角柱といいます。正八面体も正反三角柱です。正八面体の場合は側面が正三角形になっているので，特にアルキメデスの反角柱といいます。

正八面体と言えば，双四角錐(2つの四角錐を底面で合わせた立体)をイメージすることが多いと思いますが，実際に床に置いてみると，むしろ正反三角柱の印象が強くなります。

立体は見る向きによってかなり印象が変わります。それが発想に影響を与えることもありますので，同一の立体でも見方を変えたときのイメージは複数持っておいた方が有利です。

先ほど「立方体の対角線が2枚の正三角形によって垂直に3等分されていることと，その交点が正三角形の重心であることは覚えておいて下さい」と書きましたが，間違えました。正しくは「直感的に当たり前に思えるようになって下さい」です。

フラクタル図形を描くスクリプトを作りました。
https://hamadajuku.com/program/js/fractal.html

オンラインのLaTeX環境であるOverleafを試してみました。まずはTikZを使った例として，正多角形の頂点巡りの経路を出力してみました。
https://www.overleaf.com/read/qhbsgtcjtpps

再帰の例で，重複組み合わせ ₅H₁₀ を全部書き出すプログラムです。
https://www.overleaf.com/read/spfhdmztsmhk

円錐の側面上の最短ルートです。円錐を自由に動かしながら確認できるようにしました。ただしWebGLに対応したブラウザで見る必要があります。
http://ggbtu.be/m2203195

1組の対辺が交差している四辺形をcomplexな四辺形といいます。4辺の長さa,b,c,dが与えられた四辺形abcdで，complexなものが存在するための必要十分条件は何でしょうか。例えば，凧形(a=b,c=d)はcomplexになれません。