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チェバの定理の証明です。三角形の相似だけを使った素朴な方法です。

チェバの定理を拡張してみようといろいろ試して遊んでいます。これは失敗例ですが，思いついたことをすぐ実験して確かめられるのがGeoGebraの便利なところです。

メネラウスの定理は三角形だけでなく，四角形以上の多角形でも成り立ちます。多角形に限らず，閉じた折れ線であれば成り立ちます。

証明の例です。三角形のときと同じようにできます。

メネラウスの定理を四角形や五角形で証明してみると，三角形のとき以上にこの定理の成り立つ理由がはっきり見えてきます。

チェバの定理・メネラウスの定理の面積による証明を図にまとめました。

以前に，立方体を対角線方向に見る感覚も大事という話をしましたが，例えばこんな問題で活かせるのではないかと思います。
http://sansu-seijin.jp/?p=6941

3次元の座標空間に象限番号を割り当ててみました。一般的な定義はないようですが，2次元の象限をそのまま拡張するならこうなります。

2次元のときと同じ問題を考えます。座標(x,y,z)から象限番号1～8を求める関数を1つの式で表現して下さい。さらにそれをn次元に拡張する方法も示して下さい。

解答例です。[x]=(1-x/|x|)/2 とすると，
1次元 1+[x]
2次元 1+|[x]-3[y]|
3次元 1+||[x]-3[y]|-7[z]|
4次元 1+|||[x]-3[y]|-7[z]|-15[w]|
5次元以降も同様に続きます。

次のような解答も寄せられました。2進数に対応させるという見事な方法です。ありがとうございました。
1次元 1+[x]
2次元 1+[xy]+2[y]
3次元 1+[xyz]+2[yz]+4[z]
4次元 1+[xyzw]+2[yzw]+4[zw]+8[w]