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以前に，立方体を対角線方向に見る感覚も大事という話をしましたが，例えばこんな問題で活かせるのではないかと思います。
http://sansu-seijin.jp/?p=6941

3次元の座標空間に象限番号を割り当ててみました。一般的な定義はないようですが，2次元の象限をそのまま拡張するならこうなります。

2次元のときと同じ問題を考えます。座標(x,y,z)から象限番号1～8を求める関数を1つの式で表現して下さい。さらにそれをn次元に拡張する方法も示して下さい。

解答例です。[x]=(1-x/|x|)/2 とすると，
1次元 1+[x]
2次元 1+|[x]-3[y]|
3次元 1+||[x]-3[y]|-7[z]|
4次元 1+|||[x]-3[y]|-7[z]|-15[w]|
5次元以降も同様に続きます。

次のような解答も寄せられました。2進数に対応させるという見事な方法です。ありがとうございました。
1次元 1+[x]
2次元 1+[xy]+2[y]
3次元 1+[xyz]+2[yz]+4[z]
4次元 1+[xyzw]+2[yzw]+4[zw]+8[w]

座標(x,y)から象限番号1～4を求める関数qを，xとyの式で表現して下さい。例えば，q(2,5)=1, q(1,-3)=4です。x=0, y=0の場合は考えません。場合分けは使わず，使用できる関数・記号は高校の数ⅡBまでに学習するものに限ります。

解答例を挙げておきます。
q(x,y) = |x/|x|-3y/|y|+2|/2+1

ヒルベルト曲線の迷路に中央口から入ったとき，動き回ることのできる面積はどれだけでしょうか。

解いてみました。n番目の迷路では，動き回ることのできる面積は (5∙4^(n-1)-2)/3 で，迷路全体に占める割合は，n→∞のとき5/12でした。

ヒルベルト曲線を描くスクリプトです。
https://hamadajuku.com/program/js/hilbert.html

#中3 立方体を考えるとき，普通に床に置くような向きだけでなく，対角線を床に垂直に立てた向きもイメージしてみましょう。上から順に，1点，正三角形，正三角形，1点があります。空間図形の問題では，その向きで見ると新しい発見が得られる場合があります。

#中3 立方体の辺と対角線の比が1:√3であることと，その対角線が2枚の正三角形によって垂直に3等分されていること，さらにその交点が正三角形の重心であることは覚えておいて下さい。

高校生は「1点，正三角形，正三角形，1点」から2項係数を連想すると思います。確かに正方形で考えても1点，2点，1点となるので合っています。このことから，4次元の立方体では1点，4点，6点，4点，1点になると予想できます。イメージしてみて下さい。

4次元の立方体を対角線方向に見たとき，頂点が1点，4点，6点，4点，1点と並ぶ様子を表現してみました。

#中3 30°,60°,90°の直角三角形があるとき，辺の比が1:2:√3になるのは簡単に分かりますが，逆に直角をはさむ1:√3の辺があるときに30°や60°があることには気付きにくい場合があります。注意して下さい。