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2人でじゃんけんをします。あいこの場合は再度じゃんけんをし，勝負がつくまでくり返します。このとき，勝負がつくまでのじゃんけんの回数の期待値を求めて下さい。

期待値が有限値として存在することは認めることにして，それをE回とします。じゃんけんを1回して2/3の確率で勝負がつけばそれで終わり。1/3の確率であいこになれば，終わるまでにあとE回必要。よって，E回=1回×2/3+(1+E)回×1/3となり，これを解いて，E=3/2です。

半径1の円周上に任意に3点A,B,Cをとったとき，△ABCの面積の期待値は，
2 ∫[0..2π] ∫[0..x] {-sinx+siny+sin(x-y)}/2 dydx /(2π)²
= 6π/(2π)²
= 3/(2π)
およそ0.48です。

円周上の3点ではなく，正n角形のn個の頂点から選んだ3点で面積の期待値Enを求め，lim[n→∞]En で求めることもできるようです。
http://kyuukoutau.web.fc2.com/math/triangle.pdf

GeoGebraを利用して，得点分布図から平均や標準偏差を求めるサンプルです。ついでに偏差値も求めます。
http://ggbtu.be/m2433967

フェルマーの小定理・オイラーの定理を確かめるスクリプトを作りました。a^nをnで割った余りを (a, n)=(0..φ(n), 1..n-1) について求めます。
https://hamadajuku.com/program/js/euler.html

合同式は一般角の表現にも利用できます。
cosθ=1/2 のとき，θ≡±π/3 (mod 2π)
z=1+i のとき，arg(z)≡π/4 (mod 2π)

整数以外も対象にするときは，合同式の性質のうち「a≡b, c≡d ⇒ a±c≡b±d」は成り立ちますが「a≡b, c≡d ⇒ ac≡bd」は成り立ちません。積に関しては「kは整数, a≡b ⇒ ka≡kb」ならば成り立ちます。

an≡bn (mod 2π) の両辺をnで割るときも，整数の合同式と似ていて，単純に割ることはできません。法が変わって a≡b (mod 2π/n) になります。例えば，複素数のn乗根がn個あることはこれで説明できます。

a^n (かなり大きい数) をbで割った余りを求める問題があります。a^nを小さくするのにいろいろな方法がありますが，基本は周期性です。地道にa¹,a²,a³,…をbで割った余りを調べて周期性を見つけるのも案外有効です。(算数ではそうやって解きます)

bが素数のときは，フェルマーの小定理 a^(p-1)≡1 (mod p) も有効です。この定理は，a^nに長さp-1の周期があることを教えてくれます。

bが素数でなくても周期性はあります。その場合も何か定理を使いたいのであれば，オイラーの定理 a^φ(n)≡1 (mod n) を使って下さい。

ただし，フェルマー小定理のp-1も，オイラーの定理のφ(n)も，それが最小の周期とは限りません。周期は小さいほど有り難いので，この点はちょっと残念です。