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f(x)=(x^k-1)/k で k→0 とすると，極限は log(x) になります。グラフに表すとよく分かります。
https://www.desmos.com/calculator/9c09xpah2e

微分すると f'(x)=x^(k-1) となるので，f(x) は x^(k-1) の原始関数の1つであり，∫x^(k-1)dx=f(x)+c です。ここで k→0 とすると，∫x^(-1)dx=log(x)+c となります。

x^α を積分すると x^(α+1)/(α+1)+c になりますが，α=-1のときだけ log|x|+c という全然違う形になります。ちょっと不思議ですが，log(x) を (x^k-1)/k の極限と考えてみると納得できるのではないかと思います。

等比数列の和a(1-r^n)/(1-r)と，等比級数a/(1-r)をグラフに表しました。n→+∞のときは|r|<1で収束し，n→-∞のときは|r|>1で収束する様子がよく分かります。
https://www.desmos.com/calculator/gqjwhnlcmf

つまり，等比級数の公式a/(1-r)は，|r|<1のときはa[1]+a[2]+a[3]+…という和を表しますが，|r|>1のときはa[1]+a[0]+a[-1]+a[-2]+…と逆向きに足したときの和を表しています。

ただし，数列を双方向で扱うのであれば，初項はa[1]ではなくa[0]にした方が合理的です。

4人でじゃんけんをして，1人の勝者を決めます。あいこの場合は勝負がつくまでじゃんけんをくり返します。2人勝ちや3人勝ちの場合はその勝者だけでじゃんけんをし，1人の勝者が決まるまでくり返します。このとき，勝負がつくまでのじゃんけんの回数の期待値を求めて下さい。

3人でじゃんけんをして，1人の勝者を決めます。あいこの場合は，勝負がつくまでじゃんけんをくり返します。2人勝ちの場合はその2人でじゃんけんをし，同様に勝負がつくまでくり返します。このとき，勝負がつくまでのじゃんけんの回数の期待値を求めて下さい。

これも有限であることは認めて，その期待値をEとします。1回じゃんけんをし，1/3の確率で1人勝ちになればそれで終わり。1/3の確率で2人勝ちになれば終わるまでにあと3/2回必要(前の問題の答えより)。1/3の確率であいこになれば終わるまでにあとE回必要。

よって，E回=1回×1/3+(1+3/2)回×1/3+(1+E)回×1/3となり，これを解いて，E=9/4です。

2人でじゃんけんをします。あいこの場合は再度じゃんけんをし，勝負がつくまでくり返します。このとき，勝負がつくまでのじゃんけんの回数の期待値を求めて下さい。

期待値が有限値として存在することは認めることにして，それをE回とします。じゃんけんを1回して2/3の確率で勝負がつけばそれで終わり。1/3の確率であいこになれば，終わるまでにあとE回必要。よって，E回=1回×2/3+(1+E)回×1/3となり，これを解いて，E=3/2です。

半径1の円周上に任意に3点A,B,Cをとったとき，△ABCの面積の期待値は，
2 ∫[0..2π] ∫[0..x] {-sinx+siny+sin(x-y)}/2 dydx /(2π)²
= 6π/(2π)²
= 3/(2π)
およそ0.48です。

円周上の3点ではなく，正n角形のn個の頂点から選んだ3点で面積の期待値Enを求め，lim[n→∞]En で求めることもできるようです。
http://kyuukoutau.web.fc2.com/math/triangle.pdf