Twitter Twitterで数学に関する話題を発信しています。本家のサイトはログインしなければ閲覧できない仕様になってしまったので,当サイトに移して誰でも見られるようにしました。(2023.8.1) 新しい20212223242526古い 浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku2016年1月17日半径1の円周上に任意に3点A,B,Cをとったとき,△ABCの面積の期待値は,2 ∫[0..2π] ∫[0..x] {-sinx+siny+sin(x-y)}/2 dydx /(2π)²= 6π/(2π)²= 3/(2π)およそ0.48です。浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku2016年1月17日円周上の3点ではなく,正n角形のn個の頂点から選んだ3点で面積の期待値Enを求め,lim[n→∞]En で求めることもできるようです。http://kyuukoutau.web.fc2.com/math/triangle.pdf浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku2016年1月13日GeoGebraを利用して,得点分布図から平均や標準偏差を求めるサンプルです。ついでに偏差値も求めます。http://ggbtu.be/m2433967浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku2016年1月5日フェルマーの小定理・オイラーの定理を確かめるスクリプトを作りました。a^nをnで割った余りを (a, n)=(0..φ(n), 1..n-1) について求めます。https://hamadajuku.com/program/js/euler.html浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku2015年12月21日合同式は一般角の表現にも利用できます。cosθ=1/2 のとき,θ≡±π/3 (mod 2π)z=1+i のとき,arg(z)≡π/4 (mod 2π)浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku2015年12月21日整数以外も対象にするときは,合同式の性質のうち「a≡b, c≡d ⇒ a±c≡b±d」は成り立ちますが「a≡b, c≡d ⇒ ac≡bd」は成り立ちません。積に関しては「kは整数, a≡b ⇒ ka≡kb」ならば成り立ちます。浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku2016年1月4日an≡bn (mod 2π) の両辺をnで割るときも,整数の合同式と似ていて,単純に割ることはできません。法が変わって a≡b (mod 2π/n) になります。例えば,複素数のn乗根がn個あることはこれで説明できます。浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku2016年1月3日a^n (かなり大きい数) をbで割った余りを求める問題があります。a^nを小さくするのにいろいろな方法がありますが,基本は周期性です。地道にa¹,a²,a³,…をbで割った余りを調べて周期性を見つけるのも案外有効です。(算数ではそうやって解きます)浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku2016年1月3日bが素数のときは,フェルマーの小定理 a^(p-1)≡1 (mod p) も有効です。この定理は,a^nに長さp-1の周期があることを教えてくれます。浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku2016年1月3日bが素数でなくても周期性はあります。その場合も何か定理を使いたいのであれば,オイラーの定理 a^φ(n)≡1 (mod n) を使って下さい。浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku2016年1月3日ただし,フェルマー小定理のp-1も,オイラーの定理のφ(n)も,それが最小の周期とは限りません。周期は小さいほど有り難いので,この点はちょっと残念です。浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku2016年1月2日0を法とする合同 a≡b (mod 0) は,a=bと同じ意味です。このことは,≡が=の拡張であることを示しています。浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku2016年1月3日0で割るというとタブーのように感じますが,それは商を考える場合です。合同式は商を無視して余りだけを考えるものなので,法を0とすることに問題はありません。浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku2016年1月3日a≡b (mod n) は,n=1のときは常に成り立ち,nが大きいほど成立が厳しくなるのですが,最も厳しいのはn=0のときだというのは面白いことだと思います。 新しい20212223242526古い