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0を法とする合同 a≡b (mod 0) は，a=bと同じ意味です。このことは，≡が=の拡張であることを示しています。

0で割るというとタブーのように感じますが，それは商を考える場合です。合同式は商を無視して余りだけを考えるものなので，法を0とすることに問題はありません。

a≡b (mod n) は，n=1のときは常に成り立ち，nが大きいほど成立が厳しくなるのですが，最も厳しいのはn=0のときだというのは面白いことだと思います。

2016÷28=72。今年は西暦が和暦で割り切れる年です。次にそうなるのはいつかと考えると，西暦と和暦の差が2016-28=1988で，1988の約数が1,2,4,7,14,28,71,…であることから，平成71年だと分かります。

ついでに，西暦を和暦(平成)で割ったときに余りが1になる年はいつかということも考えてみました。すると，西暦3975年÷平成1987年の1回しかないことが分かりました。

1988+n≡1 (mod n)。左辺からnをひくと，1988≡1 (mod n)。両辺から1を引くと，1987≡0 (mod n)。1987は素数なので，n=1またはn=1987。n>1よりn=1987。こうしてみると結構当たり前のことでした。

チェバの定理の証明です。三角形の相似だけを使った素朴な方法です。

チェバの定理を拡張してみようといろいろ試して遊んでいます。これは失敗例ですが，思いついたことをすぐ実験して確かめられるのがGeoGebraの便利なところです。

メネラウスの定理は三角形だけでなく，四角形以上の多角形でも成り立ちます。多角形に限らず，閉じた折れ線であれば成り立ちます。

証明の例です。三角形のときと同じようにできます。

メネラウスの定理を四角形や五角形で証明してみると，三角形のとき以上にこの定理の成り立つ理由がはっきり見えてきます。

チェバの定理・メネラウスの定理の面積による証明を図にまとめました。