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Twitterで数学に関する話題を発信しています。本家のサイトはログインしなければ閲覧できない仕様になってしまったので,当サイトに移して誰でも見られるようにしました。(2023.8.1)

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

2次方程式x²+ax+b=0の2解を複素数平面上に表示しました。これはa,bが実数に制限されているときの例です。2解は-a/2を中心として左右対称か上下対称になります。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

a,bを複素数に拡張した例です。2つの2次方程式 x²+2x-3=0 と x²-2x+3=0 を円でつないでみました。2解は-a/2を中心として対称ですが,配置は上下・左右に限りません。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

√(α²)=|α| は,αが実数のときは成り立ちますが,αが虚数のときは成り立ちません。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

複素数平面でよく出てくる αβ̅+α̅β は,ベクトルで言えばαとβの内積のことです。(正確には内積の2倍)

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

一方で,αβ̅−α̅β は,ベクトルで言えばαとβの外積にあたります(正確にはその2倍)。|αβ̅−α̅β|/4 とすれば,三角形OABの面積になります。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

αβ̅+α̅β は常に実数,αβ̅−α̅β は常に純虚数です。(ここでは純虚数に0も含むものとします)

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

2005年東京大学前期理系の問題2より。複素数wを動かしたとき,w=z²-2zを満たす2つの解z1,z2の動く様子です。1つの解が円|z|=5/4を描くようにwを動かしています。2つの解がともに|z|≦5/4を満たすと,円が赤くなります。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

wを自由に動かしてみたい場合はこれを見て下さい。
https://ggbm.at/c5wcfT9E

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

3倍角の公式は覚えずに,必要な時にその都度作るのも構いません。その場合は,加法定理よりもド・モアブルの定理から作る方がずっと早く作れます。大体30~40秒でsin3θとcos3θの両方を得ることができます。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

y=x² のグラフの凸性を使って分散を視覚化できます。Gは多角形の重心です。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

平均にあたる点で接線を引いて放物線との差を見ると,分散の定義(偏差の2乗の平均)が現れます。

浜田昌宏 / 浜田塾@hamadajuku

詳しく知りたい人は,「イェンゼンの不等式」も参照してみて下さい。