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3次方程式x³+ax²+bx+c=0(a,b,cは実数)の3解を複素数平面上に表示しました。3つの実数解，または1つの実数解と2つの共役複素数になります。

3次関数y=x³+ax²+bx+cのグラフを重ねてみました。

2次方程式x²+ax+b=0の2解を複素数平面上に表示しました。これはa,bが実数に制限されているときの例です。2解は-a/2を中心として左右対称か上下対称になります。

a,bを複素数に拡張した例です。2つの2次方程式 x²+2x-3=0 と x²-2x+3=0 を円でつないでみました。2解は-a/2を中心として対称ですが，配置は上下・左右に限りません。

√(α²)=|α| は，αが実数のときは成り立ちますが，αが虚数のときは成り立ちません。

複素数平面でよく出てくる αβ̅+α̅β は，ベクトルで言えばαとβの内積のことです。(正確には内積の2倍)

一方で，αβ̅−α̅β は，ベクトルで言えばαとβの外積にあたります(正確にはその2倍)。|αβ̅−α̅β|/4 とすれば，三角形OABの面積になります。

αβ̅+α̅β は常に実数，αβ̅−α̅β は常に純虚数です。(ここでは純虚数に0も含むものとします)

2005年東京大学前期理系の問題2より。複素数wを動かしたとき，w=z²-2zを満たす2つの解z1,z2の動く様子です。1つの解が円|z|=5/4を描くようにwを動かしています。2つの解がともに|z|≦5/4を満たすと，円が赤くなります。

wを自由に動かしてみたい場合はこれを見て下さい。
https://ggbm.at/c5wcfT9E

3倍角の公式は覚えずに，必要な時にその都度作るのも構いません。その場合は，加法定理よりもド・モアブルの定理から作る方がずっと早く作れます。大体30～40秒でsin3θとcos3θの両方を得ることができます。