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₀C₀ = 1
₁C₀ = 1
₂C₀ + ₁C₁ = 2
₃C₀ + ₂C₁ = 3
₄C₀ + ₃C₁ + ₂C₂ = 5
₅C₀ + ₄C₁ + ₃C₂ = 8
₆C₀ + ₅C₁ + ₄C₂ + ₃C₃ = 13
これがフィボナッチ数列になる理由をいろいろ考えて下さい。

答えがフィボナッチ数列になる問題の別解に使えます。(例えば階段を1段または2段ずつ上がる方法を求める問題)

微分積分学の基本定理の大雑把なイメージです。xのそばに細長い長方形っぽいものを立てて，その面積を底辺で割れば高さっぽいものが出るということです。

3次関数の問題で「極値の差」が現れたら，面積(6分の1公式)との関連をにらんで下さい。

a²+b²-2ab=(a-b)(a-b)
a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)
a⁴+b⁴+c⁴+d⁴-4abcd=?

a³+b³+c³-3abc
=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)
=(a+b+c)(a+bω+cω²)(a+bω²+cω)

aをxに置き換えると，
x³-3bcx+b³+c³=(x+b+c)(x+bω+cω²)(x+bω²+cω)
つまり，3次方程式x³-3bcx+b³+c³=0の解は，
-(b+c)，-(bω+cω²)，-(bω²+cω)
の3つであることが分かります。

例えば，3次方程式x³-3x+1=0を解いてみます。
bc=1，b³+c³=1より，
b³=(1±√3i)/2=e^i(±π/3)
b=e^i(±π/3+2nπ)/3
cはbの共役複素数です。これで(b,c)が6組得られました。

このうちの1組b=e^i(π/9)，c=e^i(-π/9)を使うと，
-(b+c)=2cos(8/9)π
-(bω+cω²)=2cos(2/9)π
-(bω²+cω)=2cos(4/9)π
他の組を使っても，この3つの値が得られます。これがx³-3x+1=0の解です。

先日の「2次方程式の解を2つの双曲線の交点として複素数平面上に表したとき，双曲線が常に直交するのはなぜか」の件について…

端的に言えば，複素関数f(z)=z²+az+bが微分可能だからです。微分可能な関数は，各点の周囲を回転・拡大しますが，このとき角は保たれます。緑の双曲線は実軸に移り，紫の双曲線は虚軸に移り，それらは原点で直交するため，もとの2つの双曲線も直交するわけです。

詳しく知りたい人は，「コーシー・リーマンの関係式」「コーシー・リーマンの方程式」で検索してみて下さい。