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3次関数の問題で「極値の差」が現れたら，面積(6分の1公式)との関連をにらんで下さい。

a²+b²-2ab=(a-b)(a-b)
a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)
a⁴+b⁴+c⁴+d⁴-4abcd=?

a³+b³+c³-3abc
=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)
=(a+b+c)(a+bω+cω²)(a+bω²+cω)

aをxに置き換えると，
x³-3bcx+b³+c³=(x+b+c)(x+bω+cω²)(x+bω²+cω)
つまり，3次方程式x³-3bcx+b³+c³=0の解は，
-(b+c)，-(bω+cω²)，-(bω²+cω)
の3つであることが分かります。

例えば，3次方程式x³-3x+1=0を解いてみます。
bc=1，b³+c³=1より，
b³=(1±√3i)/2=e^i(±π/3)
b=e^i(±π/3+2nπ)/3
cはbの共役複素数です。これで(b,c)が6組得られました。

このうちの1組b=e^i(π/9)，c=e^i(-π/9)を使うと，
-(b+c)=2cos(8/9)π
-(bω+cω²)=2cos(2/9)π
-(bω²+cω)=2cos(4/9)π
他の組を使っても，この3つの値が得られます。これがx³-3x+1=0の解です。

先日の「2次方程式の解を2つの双曲線の交点として複素数平面上に表したとき，双曲線が常に直交するのはなぜか」の件について…

端的に言えば，複素関数f(z)=z²+az+bが微分可能だからです。微分可能な関数は，各点の周囲を回転・拡大しますが，このとき角は保たれます。緑の双曲線は実軸に移り，紫の双曲線は虚軸に移り，それらは原点で直交するため，もとの2つの双曲線も直交するわけです。

詳しく知りたい人は，「コーシー・リーマンの関係式」「コーシー・リーマンの方程式」で検索してみて下さい。

2次方程式z²+az+b=0を，z=x+yi，a=k+li，b=m+niとおいて変形すると，次の連立方程式が得られます。
x²-y²+kx-ly+m=0 (緑)
2xy+lx+ky+n=0 (紫)
この2つの双曲線の交点が2次方程式の解です。

aとbを自由に動かしてみたい場合はこちらをどうぞ。
https://ggbm.at/QNZZqvXD

点a,bをどんなに動かしても，2つの双曲線は常に直交しています(ただし点-a/2で交わるときを除く)。これはなぜでしょうか。

3次方程式x³+ax²+bx+c=0(a,b,cは実数)の3解を複素数平面上に表示しました。3つの実数解，または1つの実数解と2つの共役複素数になります。

3次関数y=x³+ax²+bx+cのグラフを重ねてみました。