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「集合Aのすべての要素xについて条件pが真である」という形をした命題を全称命題といいます。
命題「p⇒q」は「全体集合Uのすべての要素xについて条件p̅∨qが真である」という意味なので，全称命題の一種です。

全称命題「集合Aのすべての要素xについて条件pが真である」が偽であることを示すには，Aの要素であってpが偽である，すなわち，Aの要素であってp̅が真であるものの存在を示します。これを反例といいます。

つまり，命題「p⇒q」が偽であることを示すには，全体集合Uの要素xであってp̅∨qが偽である，すなわち，p∧q̅が真であるものの存在を示します。

命題が偽であることを示すには反例の存在を1つ示せばよいと言われますが，それは全称命題の場合です。存在命題の場合は，真の場合と偽の場合で示し方が全称命題とは逆になります。真であることを示す場合に存在の例を挙げます。

存在命題は「集合Aの要素xであって条件pが真であるものが存在する」という形をした命題です。もちろん，それが真であることを証明するには，条件pが真となるxの存在を1つ示せばいいです。
このときの例を反例とは言いませんが，その代わりになる名前も付いていないと思います。(たぶん)

変数yが0≦y≦1を満たすことと，yの変域が0≦y≦1であることと，yの最小値が0かつyの最大値が1であることは，どれも同値ではありません。

y=2x で 0<x<1 のとき，「yの変域は y<2」はアウトですが，単に条件として「y<2」というなら間違いではありません。y≦2 でも y<10 でも正しいです。

生徒の答案で，「～であればよい」「～となればよい」という表現をよく見かけます。安易に使っていて危なっかしいので，この表現の使い方の注意点について確認しておきます。

(1) 「pとなればよい」は「qのためには」を省いても使えてしまうこと。

つまり，qが文脈上明らかな場面でなければ，意味が曖昧になりかねません。きちんとqを書くか，書かなくても明らかな場面であることを確認してください。

(2) 「qのためにはpであればよい」は「p ⇒ q」の意味。つまりpは十分条件であること。

「p ⇔ q」のときに使っても間違いではありませんが，それが「p ⇐ q」まで要求される場面では使わないように注意してください。

空間ベクトルを使った47x+32y=1の特殊解の見つけ方です。

a=(1,0,47) とする。
b=(0,1,32) とする。
a-b=(1,-1,15)=c
b-2c=(-2,3,2)=d
c-7d=(15,-22,1)
よって，47∙15+32∙(-22)=1

平面z=47x+32y上の2点A，Bが，高さ1まで交互に滑り降りてきます。z成分に互除法が使われています。

平面z=47x+32yは原点を通るので，2つのベクトルOA，OBはこの平面に含まれます。よって，これらのベクトルの1次結合もまたこの平面に含まれます。これをOCとします。これを繰り返して，z成分が1の点を求めます。

これを参考にしました。
http://ja9nfo.web.fc2.com/math/special-sol.pdf

「6分の1公式」を悪者扱いする記事が出ているようですが，あれは計算を楽にするだけの公式ではありません。放物線を図形として捉えたり，面積の性質を考えるための大事な教材でもあります。

例えば，「6分の1公式」で面積が切り口の幅の3乗に比例することは，中3で学習する「相似な図形の面積比は相似比の2乗」の延長にあり，その認識を広げてくれます。また，x²の係数や切り口を変えたときの放物線の変化が，面積にどう影響を与えるかを考えさせるのも有意義です。