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黄金比を使ったひまわりの種の配置図。Rでは，plot((r<-sqrt(i<-1:1000))*cos(a<-(sqrt(5)+1)*pi*i),r*sin(a)) と，たった1行で描けます。

同じものを黄金比ではなく円周率で描いたらこうなります。最初に7本の腕が見えるのはπ≒22/7のため。次に113本の放射状の腕が見えてくるのはπ≒355/113のため。

実数を定義するのに，有理数と無理数を合わせたものというのは間違いです。それは循環定義になっています。

有理数は「整数分の整数で表せる実数」と積極的に定義されますが，無理数の定義は「そうは表せない実数」つまり「有理数ではないその他大勢」と消極的です。ある数が無理数であることを証明する問題でいつも背理法が出てくるのは，それが由来しています。

「√Aが整数となるように」とあったら，Aは平方数と考えていいですが，この平方数には0も含んでいます。当たり前のような気がしますが，結構見落としやすいので注意が必要です。

最近，「常用対数log2，log3，log7の近似値を，連立3元1次方程式を作って一度に求めること」というお題を友人から与えられました。例えば，2^2×7=28≒27=3^3 より 2log2+log7≒3log3。こんな方程式を3つ集めて解きます。

重複組み合わせは，個数を○，種類の区切りを｜で表して，○と｜を並べる順列の話に変換するのが定番ですが，そんなうまい方法が急に出てくるのは怖い気もするので，もっと自然なアプローチはないのか考えてみました。

重複組み合わせも結局背後にあるのはただの組み合わせなので，翻訳を工夫すれば組み合わせを使ったいろいろな有名問題(例えば縦横の道を進む問題等)に帰着させることができます。ただしそれが自然な流れと言えるのかどうかは別です。

個人的には，重複組み合わせの問題を再帰的に分解して2変数の漸化式で表現し，その解き方を考えるというのが最も自然に感じられたのですが，高校生から見ると余計怖いだろうと思います。そもそも高校生は，問題をトップダウン的に解くという発想に慣れていません。

重複組み合わせの指導法 http://izumi-math.jp/F_Nakamura/repeat/repeat.htm
ここに載っている「順序組分配法」は今回初めて知りました。昔は教科書にも載っていたというので，実は有名なものかも知れません。確かに指導に使うのは難しそうですが，アイデアは面白いと思います。