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(-∞,+∞) は開区間か閉区間か。高校数学でははっきり分かりませんが，どう判定するべきか考えてみるのは面白いと思います。

半径1の円内に任意の点をとったとき，中心からその点までの距離の期待値は2/3です。

ちゃんと示そうとすると積分が出てくるのですが，直感的にはたぶん三角形の重心が中線を1:2に内分する話ではないかと思います。

加重平均という考え方は数学や理科のあちこちに出てくるのに，加重平均そのものを教える場はありません。仕方がないのでそれが関連するときについでに話に出すのですが，余談のような扱いになってしまうのが残念です。

最頻値のことを，並数(なみすう)とも言うと初めて知りました。なぜ「並」なのだろうかと字源を調べてみると，「並」は「竝」の略体で，人が同様に並ぶ様子を表したものだそうです。また「並」には「同じ部類に属すること」という意味がありました。確かにイメージに合います。

英語のmodeについても，最頻値のmodeと一般的なmodeの意味とのつながりを考えてみましたが，いまいち分かりにくいように思いました。

数Ⅱの三角関数で，y=2sinx や y=sin2x のグラフにつまづいた人は，1次関数や2次関数のようなもっと簡単な関数に戻って y=2f(x) や y=f(2x) を考えてみるといいです。グラフの伸び縮みは三角関数から登場しますが，三角関数だけの話ではありません。

y=f(x)のグラフがy=f(2x)になるとなぜ横に縮むのか。直感的に捉えるなら，xを時刻と考えるといいです。1xに比べて2xは2倍の速さで大きくなるので，f(2x)はf(1x)の未来を先取りします。つまりグラフが縮むのは，2xがfの将来像を今に向かってたぐりよせるからです。

必要条件と十分条件は，「十分⇒必要」と覚えておけばとりあえず問いには答えられます。でも，それに頼り切るのではなく，必要・十分の意味を言葉のまま感覚的に捉えられるようにする努力も怠らないで下さい。物事を思考する上で使うのは，そちらの方の能力です。