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円順列は(n-1)!という公式だけ覚えても役に立ちません。何かを固定して回転を止めて数えるか，または回転を無視して数えて重複度で割るか，公式を導出したときのアイデアの方を大事にして下さい。そうしないと，公式をそのまま適用するだけの基本問題しか解けなくなります。

前にも書いたと思いますが，この事例にまた出会いましたので改めて投稿しました。これが原因でつまづいている人はきっと多いのだろうと思います。

円錐の側面上を1周する最短距離の問題で，その経路を楕円で描いている図を見かけることがありますが，それは正しくありません。本当は楕円のような平面図形ではなく，3次元的な曲線になります。

扇形OABから円錐をつくるとき，弦ABがつくるループのAとBがくっつくところが角(かど)になります。円錐を平面で切断したときに現れる曲線(円錐曲線といいます)には角はありませんので，これは平面的な曲線ではないことが分かります。

GeoGebraで描いてみました。

ベクトルの内積を (1,2)∙(3,4) のように成分表示のまま書くのはダメなのか。教科書などの出版物は書かない習慣がありますが，書かないだけで間違っているわけではありません。だから，学習者が自分の答案にそれを書くのは全く構わないと思います。

ベクトルの内積は，(1行n列)(n行1列)という行列の積と同じです。でも行列の積は行列であって内積とは一致しないのではないか？という気もしますが，実際，1行1列の行列をスカラーとみなすことはよくあります。(プログラマーから見るといい加減だと思われそうです)

逆にスカラーは1行1列の行列とみなせるでしょうか。つまり，すべてを行列で統一できたら面白いなと思ったのですが，ちょっと考えてみるといろいろ面倒なことになりそうでした。

Elephant SpinOut - http://www.puzzles.com/products/elephantspinout.htm
再帰的解法のお手本のようなパズル。残念ながらブラウザによっては正しく動作しません。

x^y=y^xについて，x≠yときの解は，x=(1+1/t)^t，y=(1+1/t)^(t+1)と表されます。t→∞とすると(x,y)→(e,e)です。

解の導き方はここに載っています。
http://www.qbyte.org/puzzles/p048s.html

方程式 2^x=2x も，x=log[2]kとおくと 2^k=k^2 になるので，これと同じ問題と言えます。