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曲線 y=f(x) に斜めの漸近線があるかどうかを求めるのに，参考書には lim を使った説明がよく書かれていますが，あれは発見法というよりは，漸近線があることが分かったうえでそれを示すための方法だと思った方がいいです。

ではどうやって発見するかというと，f(x)を最高位の部分だけ見たときに x の1次式になっている場合です。
例えば，
y=(2x²+x+1)/(x+3) → y=2x+b
y=2x+√(x²-1) → y=3x+b
y=∛(8x³+x+1) → y=2x+b
これらを f(x) のオーダーが1次関数であるといいます。

このようにして，あらかじめ斜めの漸近線があることを見抜いておいて，答案では lim を使って示せばよいということです。
数学によくある「本音の建前のギャップ」です。

「実数」という用語を教えるときは，後々実数以外の数が登場することも合わせて話しておく必要があります。そうしなければ，なぜすべての数にわざわざ名前を付けるのか，「数」と「実数」という言葉は何が違うのか，生徒は虚数の登場まで1年間も分からないままです。

後から登場したものと区別するために，元からあったものに改めて付けた名前をレトロニムといいます。実数はレトロニムです。

関数 f(x)/g(x) が x=a で極値をとるとき，
f'(a)g(a)−f(a)g'(a)=0 より，
f(a)/g(a)=f'(a)/g'(a) が成り立ちます。

直感的に言うと，f(x)/g(x) が x=a で極値をとるのは，その付近でfとgの比が不変ということなので，
f/g=(f+Δf)/(g+Δg)=Δf/Δg

このとき，2曲線 y=f(x) と y=g(x) の x=a における接線が，x軸上で交わります。

2曲線 y=f(x), y=g(x) よりも，曲線 (f(t), g(t)) でイメージする方が簡単でした。

ロピタルの定理のイメージもこれに近いです。点Pが原点に飛び込んでくるとき，入る間際のPの方向ベクトルとOPが同じ向きになるのがロピタルの定理です。

商の微分の公式 {f(x)/g(x)}' は，教科書では積の微分と逆数の微分を用意しておいて，それを組み合わせて導くことが多いですが，そうすると結果を直感的にとらえにくいという欠点があるので，できるだけ微分の定義だけで導くこともやってみてください。

あ/い−ア/イ を通分すると，(あイ−アい)/(いイ) になりますが，大雑把に言うと，商の微分の形はこれに由来しています。

さらに拡張してみました。
a※※b = expexpexp(loglogloga + logloglogb)
a※b = expexp(logloga + loglogb)
a×b = exp(loga + logb)
a+b = a+b
a*b = log(expa + expb)
a**b = loglog(expexpa + expexpb)

×を中心に広げるとこうなります。
a※※b = expexp(logloga × loglogb)
a※b = exp(loga × logb)
a×b = a×b
a+b = log(expa × expb)
a*b = loglog(expexpa × expexpb)
a**b = logloglog(expexpexpa × expexpexpb)

演算※と累乗^との関係は
a^b = a※expb
a※b = a^logb = b^loga

a※b = log(expa ※※ expb) = exp(loga × logb)
a×b = log(expa ※ expb) = exp(loga + logb)
a+b = log(expa × expb) = exp(loga * logb)
a*b = log(expa + expb) = exp(loga ** logb)
a**b = log(expa * expb) = exp(loga *** logb)

exp(a×b) = expa ※ expb
exp(a+b) = expa × expb
exp(a*b) = expa + expb
exp(a**b) = expa * expb

log(a※b) = loga × logb
log(a×b) = loga + logb
log(a+b) = loga * logb
log(a*b) = loga ** logb

a※a※a = a※※expexp3
a×a×a = a※exp3
a+a+a = a×3
a*a*a = a+log3
a**a**a = a*loglog3
a***a***a = a**logloglog3

(等差)×(等比)の和を，階差数列の和とみなして解く方法です。