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合同式は一般角の表現にも利用できます。
cosθ=1/2 のとき，θ≡±π/3 (mod 2π)
z=1+i のとき，arg(z)≡π/4 (mod 2π)

整数以外も対象にするときは，合同式の性質のうち「a≡b, c≡d ⇒ a±c≡b±d」は成り立ちますが「a≡b, c≡d ⇒ ac≡bd」は成り立ちません。積に関しては「kは整数, a≡b ⇒ ka≡kb」ならば成り立ちます。

an≡bn (mod 2π) の両辺をnで割るときも，整数の合同式と似ていて，単純に割ることはできません。法が変わって a≡b (mod 2π/n) になります。例えば，複素数のn乗根がn個あることはこれで説明できます。

a^n (かなり大きい数) をbで割った余りを求める問題があります。a^nを小さくするのにいろいろな方法がありますが，基本は周期性です。地道にa¹,a²,a³,…をbで割った余りを調べて周期性を見つけるのも案外有効です。(算数ではそうやって解きます)

bが素数のときは，フェルマーの小定理 a^(p-1)≡1 (mod p) も有効です。この定理は，a^nに長さp-1の周期があることを教えてくれます。

bが素数でなくても周期性はあります。その場合も何か定理を使いたいのであれば，オイラーの定理 a^φ(n)≡1 (mod n) を使って下さい。

ただし，フェルマー小定理のp-1も，オイラーの定理のφ(n)も，それが最小の周期とは限りません。周期は小さいほど有り難いので，この点はちょっと残念です。

0を法とする合同 a≡b (mod 0) は，a=bと同じ意味です。このことは，≡が=の拡張であることを示しています。

0で割るというとタブーのように感じますが，それは商を考える場合です。合同式は商を無視して余りだけを考えるものなので，法を0とすることに問題はありません。

a≡b (mod n) は，n=1のときは常に成り立ち，nが大きいほど成立が厳しくなるのですが，最も厳しいのはn=0のときだというのは面白いことだと思います。

2016÷28=72。今年は西暦が和暦で割り切れる年です。次にそうなるのはいつかと考えると，西暦と和暦の差が2016-28=1988で，1988の約数が1,2,4,7,14,28,71,…であることから，平成71年だと分かります。

ついでに，西暦を和暦(平成)で割ったときに余りが1になる年はいつかということも考えてみました。すると，西暦3975年÷平成1987年の1回しかないことが分かりました。

1988+n≡1 (mod n)。左辺からnをひくと，1988≡1 (mod n)。両辺から1を引くと，1987≡0 (mod n)。1987は素数なので，n=1またはn=1987。n>1よりn=1987。こうしてみると結構当たり前のことでした。

チェバの定理の証明です。三角形の相似だけを使った素朴な方法です。

チェバの定理を拡張してみようといろいろ試して遊んでいます。これは失敗例ですが，思いついたことをすぐ実験して確かめられるのがGeoGebraの便利なところです。