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ロピタルの定理のイメージを大雑把に言うと，動点P(f(t),g(t))が原点Oに飛び込んでくるとき，入る間際のPの方向ベクトルとOPはほとんど平行ということです。

これは原点に限らず一般の点でも成り立ちます。図形的にはそう言えばいいのですが，通常ロピタルの定理を利用する場面では，そう表現してみても冗長になるだけで利用価値は上がりません。だから原点で十分です。

積の微分 (fg)' = f'g + fg' の証明は，式だけを見るのではなく，fg平面に長方形をかいて面積に注目すると何をやっているかよく分かります。

このようなイメージです。

結局はイとウだけ残るという感じです。(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh' も，直方体で同じように考えると，3つの部分だけ残る様子がイメージできます。

GeoGebraで正8面体の頂点巡りを作りました。
http://ggbm.at/dF8zaHdf

f(x)=(x^k-1)/k で k→0 とすると，極限は log(x) になります。グラフに表すとよく分かります。
https://www.desmos.com/calculator/9c09xpah2e

微分すると f'(x)=x^(k-1) となるので，f(x) は x^(k-1) の原始関数の1つであり，∫x^(k-1)dx=f(x)+c です。ここで k→0 とすると，∫x^(-1)dx=log(x)+c となります。

x^α を積分すると x^(α+1)/(α+1)+c になりますが，α=-1のときだけ log|x|+c という全然違う形になります。ちょっと不思議ですが，log(x) を (x^k-1)/k の極限と考えてみると納得できるのではないかと思います。

等比数列の和a(1-r^n)/(1-r)と，等比級数a/(1-r)をグラフに表しました。n→+∞のときは|r|<1で収束し，n→-∞のときは|r|>1で収束する様子がよく分かります。
https://www.desmos.com/calculator/gqjwhnlcmf

つまり，等比級数の公式a/(1-r)は，|r|<1のときはa[1]+a[2]+a[3]+…という和を表しますが，|r|>1のときはa[1]+a[0]+a[-1]+a[-2]+…と逆向きに足したときの和を表しています。

ただし，数列を双方向で扱うのであれば，初項はa[1]ではなくa[0]にした方が合理的です。

4人でじゃんけんをして，1人の勝者を決めます。あいこの場合は勝負がつくまでじゃんけんをくり返します。2人勝ちや3人勝ちの場合はその勝者だけでじゃんけんをし，1人の勝者が決まるまでくり返します。このとき，勝負がつくまでのじゃんけんの回数の期待値を求めて下さい。