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高校数学では，関数を表すときf(x)やg(t)のように常に引数を付けます。それで，関数そのものを指すこともあれば，関数の値を表すこともあります。一般的にはf,gは関数そのものを指し，f(x)やg(t)は関数の値を指すと考えるので，高校生も必要があれば使い分けて下さい。

πやeも関数と言えば関数で，1変数関数や2変数関数に対して，引数をとらない無変数関数と言えそうです。π()やe()と書けばそれっぽく見えます。

最近受けた質問です。「整数nに対して，n≧1000のときf(n)=n-3，n<1000のときf(n)=f(f(n+5))と定義する。f(84)を求めよ」という問題で，nが奇数のとき998，nが偶数のとき997であることは予想できたが，どう証明するのかと。

あれを使って証明することになるので，高1にはやや無理があるのですが，ちゃんと納得してくれた様子。それにしても，その結果をよく予想できたなあと感心しました。

標本調査において標本の分散から母集団の分散を推定する実験です。
https://hamadajuku.com/program/js/estimation.html

立方体の頂点巡りの経路をすべて書き出してみました。86通りありました。
https://hamadajuku.com/publish/misc/cube.pdf (リンクが外れてしまったので再投稿)

標準分散が偏差の平方和をnで割るのに対し，不偏分散はなぜn-1で割るのかについて考えてみました。そのときに必要になった証明をまとめておきます。
https://hamadajuku.com/publish/misc/variance.pdf

不偏分散を使う目的は，標本の分散を使って母集団の分散を推定することです。標本側で標準分散を求めても，その期待値は母集団の分散と一致しません。不偏分散であれば，期待値は母集団の各種分散と一致します。

分散の基本は，各要素と平均との関係ではなく，2要素間の関係です。分散の定義が平均との関係を使うようになっているのは，計算量を減らすための工夫に過ぎません。

集合内の2要素間の関係から分散を求める場合，その2つの要素の選び方によって対応する分散が異なります。組合せ(nC2)で選ぶと不偏分散に対応し，重複順列(n²)で選ぶと標準分散に対応し，重複組合せ(nH2)で選ぶと低減分散に対応します。

集合内の2要素間の関係はn×nの正方行列で表せます。ただし対角成分は同じ要素どうしの関係であり，散らばりを考える材料として本来不要です。これを無視するのが不偏分散，他の成分と同等に評価するのが標準分散，三角行列と転置行列の和とみなして2重に評価するのが低減分散にあたります。

不偏分散がn-1で割る理由は，n×nの関係行列で対角成分を無視した場合，1行あたりの要素数がn-1になるからです。対角成分を他の成分と同等に評価する(標準分散)ならnで割り，2重に評価する(低減分散)ならn+1で割る理由もここから分かります。

では，なぜ不偏分散が対角成分を無視するかというと，関係行列の対角成分が他の成分に比べて過剰に評価されるのを避けるためです。

母集団からあらゆる標本を取り出してその関係行列を集めていくと，母集団の関係行列のうち非対角成分は均等に集まりますが，対角成分はそれよりも多めに集まります。これは標本の抽出を組合せ・重複順列・重複組合せのどれで考えても同じです。

つまり標本から母集団を推定する場合，対角成分を見てしまうとそれに評価が偏ってしまい，期待値が母集団に一致しないので，対角成分は無視しなければならないというわけです。

これまで不偏分散がなぜ「不偏(偏らない)」と呼ばれるのか納得できていませんでしたが，これで分かったような気がします。偏らないというのは，関係行列における対角成分と非対角成分の評価の比重のことを言っているのではないでしょうか。