Twitter

先日の「2次方程式の解を2つの双曲線の交点として複素数平面上に表したとき，双曲線が常に直交するのはなぜか」の件について…

端的に言えば，複素関数f(z)=z²+az+bが微分可能だからです。微分可能な関数は，各点の周囲を回転・拡大しますが，このとき角は保たれます。緑の双曲線は実軸に移り，紫の双曲線は虚軸に移り，それらは原点で直交するため，もとの2つの双曲線も直交するわけです。

詳しく知りたい人は，「コーシー・リーマンの関係式」「コーシー・リーマンの方程式」で検索してみて下さい。

2次方程式z²+az+b=0を，z=x+yi，a=k+li，b=m+niとおいて変形すると，次の連立方程式が得られます。
x²-y²+kx-ly+m=0 (緑)
2xy+lx+ky+n=0 (紫)
この2つの双曲線の交点が2次方程式の解です。

aとbを自由に動かしてみたい場合はこちらをどうぞ。
https://ggbm.at/QNZZqvXD

点a,bをどんなに動かしても，2つの双曲線は常に直交しています(ただし点-a/2で交わるときを除く)。これはなぜでしょうか。

3次方程式x³+ax²+bx+c=0(a,b,cは実数)の3解を複素数平面上に表示しました。3つの実数解，または1つの実数解と2つの共役複素数になります。

3次関数y=x³+ax²+bx+cのグラフを重ねてみました。

2次方程式x²+ax+b=0の2解を複素数平面上に表示しました。これはa,bが実数に制限されているときの例です。2解は-a/2を中心として左右対称か上下対称になります。

a,bを複素数に拡張した例です。2つの2次方程式 x²+2x-3=0 と x²-2x+3=0 を円でつないでみました。2解は-a/2を中心として対称ですが，配置は上下・左右に限りません。

√(α²)=|α| は，αが実数のときは成り立ちますが，αが虚数のときは成り立ちません。

複素数平面でよく出てくる αβ̅+α̅β は，ベクトルで言えばαとβの内積のことです。(正確には内積の2倍)

一方で，αβ̅−α̅β は，ベクトルで言えばαとβの外積にあたります(正確にはその2倍)。|αβ̅−α̅β|/4 とすれば，三角形OABの面積になります。

αβ̅+α̅β は常に実数，αβ̅−α̅β は常に純虚数です。(ここでは純虚数に0も含むものとします)