数学つれづれ草

正六角形の頂点巡り

正多角形の1つの頂点を出発し,すべての頂点を1度ずつ訪れて出発点にもどる道すじのことを正多角形の頂点巡りの閉路といいます。これが各正多角形について何通りあるか?という問題を考えてみます。ただし回転したり裏返したりすると一致するものは同じ巡り方とします。

例えば,正三角形は1通り,正四角形は2通り,正五角形は4通りあります。これらは実際に図を描いて調べてみれば簡単に分かります。しかし,正多角形が大きくなるにつれて,もれなく調べるのはだんだん難しくなっていきます。

正六角形の頂点巡りを全て挙げてみました。

全部で12通りあります。どれも美しいきれいな形をしていますね。これらをじ~っと眺めていると,何やら神秘的な感じさえしてきます。

でも12番目の形にはちょっと違和感を感じませんか? 全体の中で12番目だけが仲間外れに見えます。それは他の11個とは違う性質があるからなのですが,さてそれはどういう違いでしょうか?

(2003/09/13)

(付録) 正九角形までの全頂点巡り

正三角形から正九角形までの頂点巡りをすべて書き出してみました。travel.pdf

それを書き出すのに使ったExcelのマクロです。travel.xlsm

(2014/12/23追記)