数学つれづれ草

ルート2を求める

中3で初めて平方根を習うとき,$\sqrt{2}=1.414213\cdots$を求めるのに,

$2$ は,$1^2=1$ と $2^2=4$ の間だから,$\sqrt{2}=1.\cdots$
$2$ は,$1.4^2=1.96$ と $1.5^2=2.25$ の間だから,$\sqrt{2}=1.4\cdots$
$2$ は,$1.41^2=1.9881$ と $1.42^2=2.0164$ の間だから,$\sqrt{2}=1.41\cdots$

という方法を習います。とても分かりやすく,最初はこれでいいと思いますが,あまり実用的ではありませんね。1けた掘り下げる度に,見当をつけては2乗して確かめる計算を繰り返すのが,ものすごく面倒です。手計算でやるならせいぜい $1.41$ まで。次の $1.414$ なんて電卓がないとやる気が起こりません。本当に $\sqrt{2}$ の値を深く求めたいのであれば,やり方を変えた方がよさそうです。

図形から求める (中3)

直角をはさむ辺の長さが1の直角二等辺三角形を考えます。そうすると斜辺の長さが $\sqrt{2}$ ですから,それを精密に求めようとすれば $1.414\cdots$ が得られるはずです。

右の図のような直角二等辺三角形ABCを用意します。まずはACを斜辺ABに重ねるように折ります。このとき,重ならずに残っている部分は$\triangle$BDEで,これは直角二等辺三角形になっています。今度は$\triangle$BDEを,DEが斜辺BDに重なるように折ります。このとき,重ならずに残っている部分は$\triangle$BFGで,これも直角二等辺三角形になっています。これをどんどん繰り返していきます。
CD, DE, EBの長さを $a_1$,EF, FG, GBの長さを $a_2$,その先も同様に $a_3,~a_4,~\cdots$ と表しておきます。これで辺ABの長さを求めてみると…

$ \let\origfrac=\basicfrac \let\basicfrac=\cfrac \def\strut{\color{white}{\Rule{0.0001px}{5pt}{1pt}}} \eqalign{ \sqrt2 &=1+a_1 =1+\f{1}{\f1{a_1}} =1+\f{1}{\f{2a_1+a_2}{a_1}}\\[0.5em] &=1+\f1{2+\f{a_2}{a_1}} =1+\f1{2+\f1{\f{a_1}{a_2}}}\\ &=1+\f1{2+\f1{\f{2a_2+a_3}{a_2}}}\\[0.5em] &=1+\f1{2+\f1{2+\f{a_3}{a_2}}} =\cdots } $

計算はユークリッドの互除法のようになっています。これを適当なところで打ち切って計算すれば,$\sqrt{2}$ に近い値が得られます。

$ \eqalign{ 1+\f12=&\f32&=1.5\\[0.5em] 1+\f1{2+\f12}=&\f75&=1.4\\ 1+\f1{2+\f1{2+\f12}}=&\f{17}{12}&=1.416\cdots\\[-0.8em] &\f{41}{29}&=1.41437\cdots\\[0.5em] &\f{99}{70}&=1.41428\cdots } $

同じことを図形なしでやる (高1)

図形がなくても,これと全く同じ式を得る方法があります。ただし,計算中に高1レベルの有理化が含まれているので,こちらは高校生向けです。

$ \eqalign{ \sqrt2&=1+(\sqrt2-1)=1+\f1{\sqrt2+1}\\[0.3em] &=1+\f1{2+(\sqrt2-1)}=1+\f1{2+\f1{\sqrt2+1}}\\ &=1+\f1{2+\f1{2+(\sqrt2-1)}}\\[0.5em] &=1+\f1{2+\f1{2+\f1{\sqrt2+1}}}=\cdots } \let\basicfrac=\origfrac $

図形は中3,こっちは高1レベルですが,実際にはこっちの方が理解しやすいような気がします。しかし,どちらにしても無理やり連分数を作ろうとする奇妙な式変形をしなければならないのが欠点です。さらに $\sqrt{2}$ へ収束する速さももうちょっと改善したいところです。

相加平均・相乗平均を使う (高2)

もっと速く $\sqrt2$ を求める方法があります。準備として相加平均・相乗平均の関係を確認しておきます。

任意の $a\gt0$,$b\gt0$ に対して
$\sqrt{ab}\leqq\f{a+b}2$

これの特別な場合として,$ab=2$ の場合を考えます。

$0\lt a\lt b$,$ab=2$ のとき
$a\lt\sqrt2\lt\f{a+b}2\lt b$

「かけて $2$ になる2つの数があるとき,$\sqrt2$ は2つの数の平均よりもちょっと小さい」というイメージです。まずは $a=1$,$b=2$ をあてはめてみると,

$1\lt\sqrt2\lt\[3/2]$

$\sqrt2$ の在りかが狭まりました。$\sqrt2$ は $\[3/2]$ よりちょっと下です。$\[3/2]$ とかけて $2$ になるような数は $\[4/3]$ なので,今度は $a=\[4/3]$,$b=\[3/2]$ とおきます。

$ \def\cf#1#2{\cfrac{#1}{#2}} \def\strut{\color{white}{\Rule{0.0001px}{5pt}{1pt}}} \[4/3]\lt\sqrt2\lt\cf{\cf43+\cf32}2=\[17/12] $

さらに狭まりました。$\sqrt2$ は $\[17/12\Rule{0pt}{0pt}{3pt}]$ よりちょっと下です。では $a=\[24/17\Rule{0pt}{0pt}{3pt}]$,$b=\[17/12\Rule{0pt}{0pt}{3pt}]$ とおきます。今度もかけて $2$ になるように $a$ を設定しています。

$\[24/17]\lt\sqrt2\lt\cf{\cf{24}{17}+\cf{17}{12}}2=\[577/408]$

$\sqrt2$ は $\[577/408\Rule{0pt}{0pt}{3pt}]$ よりちょっと下です。あとはこんな調子で繰り返していくだけです。

この結果として $\sqrt2$ へ収束する次のような数列が得られます。

$\eqalign{ \[3/2]&=1.5\\[3px] \[17/12]&=1.41666\cdots\\[3px] \[577/408]&=1.41421568\cdots\\[3px] \[665857/470832]&=1.41421356237468\cdots }$

$\sqrt2=1.414213562373095048\cdots$ と比べてみると,4つ目ですでに小数第11位まで合っていることが分かります。これはすごい速さですね。1つ進めるたびに「分子×分母×2」で次の分母を作っていますから,分子・分母が「2の(2のN乗)乗のオーダー」というとんでもない速さで増えます。大雑把に言えば,それだけ精度の上がるスピードも速いというわけです。

同じことを図形的にやる (高2~3)

$y=x^2-2$ のグラフと微分を使えば,上と同じ数列を視覚的に作ることもできます。このグラフの $x$ 切片の1つは $\sqrt2$ です。そこでグラフの接線を利用して $(\sqrt2,~0)$ にだんだん迫っていくような点列を作ります。

まずは,このグラフに $A_0(2,~2)$ で接する直線をかきます。$y'=2x$ であることから,この接線の傾きは $2\times2=4$ なので,この直線の式は $y=2(x-2)+2$ です。そして,この直線の $x$ 切片を求めると $x=\[3/2]$ です。

次に,このグラフに $A_1\!\left(\[3/2],~\[1/4]\right)$ で接する直線をかきます。この接線の式は $y=3\left(x-\[3/2]\right)+\[1/4]$ です。そして,この直線の $x$ 切片を求めると $x=\[17/12]$ です。

さらに,このグラフに $A_2\!\left(\[17/12],~\[1/144]\right)$ で接する直線をかきます。この接線の $x$ 切片を求めると $x=\[577/408]$ です。

さらに,次の $x$ 切片を求めると $x=\[665857/470832\Rule{0pt}{0pt}{3pt}]$ …もう分かりますね。さっきの相加平均・相乗平均を利用したときと全く同じ数列ができています。

この方法をニュートン法といいます。$\sqrt2$ に迫っていく様子が視覚的に分かるので,これまで紹介した中で一番理解しやすいと思います。しかも収束も速くて実用的。$\sqrt2$ 以外にも広く使えます。しかし残念ながら微分を使っているので,それを高校の数学Ⅱで習うまでは"非合法"というのが欠点ですね。

(2012/01/15)