数学つれづれ草

ピタゴラスの数を生む行列

ピタゴラスの数とは,$a^2+b^2=c^2$ を満たす自然数の組 $(a,b,c)$ のことです。$(3,4,5)$ や $(5,12,13)$ は有名ですが,これ以外にどんな組があるか知っていますか? (ただし $(6,8,10)$ のような相似形はつまらないのでナシとします)

いろいろ数をあてはめて試すくらいではなかなか見つからないと思います。そうすると,$(3,4,5)$ や $(5,12,13)$ って貴重なんだなぁという感じがしてきませんか?

このようなピタゴラスの数を次々と生み出す不思議な行列があります。

$ P=\left( \begin{array}{ccc} -1&-2&2\\ -2&-1&2\\ -2&-2&3 \end{array} \right) $

この行列には,$P=P^{-1}$ が成り立っています。

この行列にピタゴラスの数 $(3,4,5)$ からつくった4つの行列

$ \left(\begin{array}{c}3\\4\\5\end{array}\right), \left(\begin{array}{c}-3\\4\\5\end{array}\right), \left(\begin{array}{c}3\\-4\\5\end{array}\right), \left(\begin{array}{c}-3\\-4\\5\end{array}\right) $

をそれぞれかけます。一度に計算するためにこれらの行列をまとめて,

$ A=\left( \begin{array}{cccc} 3&-3&3&-3\\ 4&4&-4&-4\\ 5&5&5&5 \end{array} \right) $

としてかけると,

$ PA=\left( \begin{array}{cccc} -1&5&15&21\\ 0&12&8&20\\ 1&13&17&29 \end{array} \right) $

となります。

1列目はダメですが,2列~4列に新しいピタゴラスの数 $(5,12,13)$,$(15,8,17)$,$(21,20,29)$ ができました。この3組のピタゴラスの数を種にして,さらに新しいピタゴラスの数を増やしてみましょう。

まず,$(5,12,13)$ から次のような行列をつくります。

$ B_1=\left( \begin{array}{cccc} 5&-5&5&-5\\ 12&12&-12&-12\\ 13&13&13&13 \end{array} \right) $

これを $P$ にかけてみると,

$ PB_1=\left( \begin{array}{cccc} -3&7&45&55\\ 4&24&28&48\\ 5&25&53&73 \end{array} \right) $

となります。やはり2列~4列に新しいピタゴラスの数を得ました。

ところで,1列目が元になっていたピタゴラスの数に戻ってしまうのは,$P^2$ が単位行列になることを考えると当然ですね。ということで,次の $(15,8,17)$ からつくる行列では,初めから1列目を除いておきました。

$ B_2=\left( \begin{array}{ccc} -15&15&-15\\ 8&-8&-8\\ 17&17&17 \end{array} \right) $
これを $P$ にかけてみると,
$ PB_2=\left( \begin{array}{ccc} 33&35&65\\ 56&12&72\\ 65&37&97 \end{array} \right) $

どの列も新しいピタゴラスの数になっています。

では最後に $(21,20,29)$ もやってみましょう。

$ B_3=\left( \begin{array}{ccc} -21&21&-21\\ 20&-20&-20\\ 29&29&29 \end{array} \right) $

これを $P$ にかけると,

$ PB_3=\left( \begin{array}{ccc} 39&77&119\\ 80&36&120\\ 89&85&169 \end{array} \right) $

また新たに3組のピタゴラスの数ができました。つまり,1つのピタゴラスの数の種があれば,そこから3つの新しいピタゴラスの数ができます。

これまでに,$1+3+9=13$ 組のピタゴラスの数を得ましたが,この方法をくり返していくと,次々とピタゴラスの数を見つけることができます。

しかも,この方法がすごいのは,

  • 3つの数が互いに素である。$(6,8,10)$ のような相似形は出ない。
  • 重複したものは出ない。(たぶん)
  • すべてのピタゴラスの数を網羅する。

というところですね。

しかし,どうやってこんな不思議な行列を思いつくのかなぁ。

(2003/08/08)