数学コラム
代数学の基本定理に触れる面白い証明
面白い証明を思い出しました。いつだったかは分かりませんが，「高校への数学」に載っていたものだと思います。
$a+\f1{a\Rule{0pt}{0pt}{3pt}}=b+\f1b=c+\f1c$ が成り立っているとき，$a,~b,~c$ のうち少なくとも2つの値は一致することを証明せよ。
[証明]
$a+\f1a=b+\f1b=c+\f1c=k$ とすると，次が成り立つ。
$\eqalign{
a^2-ka+1&=0 \\[2px]
b^2-kb+1&=0 \\[2px]
c^2-kc+1&=0
}$
これらは，$a,~b,~c$ が $x$ の2次方程式 $x^2-kx+1=0$ の解であることを示している。2次方程式の解は高々2つなので，$a,~b,~c$ のうち少なくとも2つの値は一致する。■
見事ですねえ。しかしこんな奇抜な証明，中学生にはそう簡単には思いつかないだろうなぁ。中学生には解くというよりも鑑賞してほしい問題ですね。
(2003/08/13)