数学つれづれ草

0.9999…=1を直感で理解する

よくある説明

有名な話ですが,$0.9999\cdots=1$ というのは信じがたいようで確かに正しい。まずは,よくある説明です。

$\[1/3]=0.33333\cdots$

この等式は認めることにします。この両辺を3倍すると,

$\eqalign{ 3\times\[1/3]&=3\times0.33333\cdots\\[3px] 1&=0.99999\cdots }$

という等式になる,というもの。

それは確かにそうなのだが,分かったような分からないような。これではどうもスッキリしないという人はたくさんいるのではないでしょうか。私も昔はごまかされているだけのような気がして,どうも納得がいきませんでした。実はこの説明,よく分からないものを使ってよく分からないことを説明しているので,もともと分からない人にとっては何の解決にもなっていません。

極限を知っている人向けの説明

極限を知っている人は,$0.9999\cdots$ を $1$ との差でとらえてみると分かりやすくなります。

$\eqalign{ 0.9&=1-0.1\\ 0.99&=1-0.01\\ 0.999&=1-0.001\\ 0.9999&=1-0.0001\\ 0.99999&=1-0.00001 }$

これを限りなく続けたときの極限を $\lim$ を使って表現してみると,

$\eqalign{ 0.99999\cdots=\lim_{n\to\infty}\left(1-0.1^n\right) }$

そうすれば,

$\eqalign{ &\lim_{n\to\infty}\left(1-0.1^n\right)\\ =&1-\lim_{n\to\infty}0.1^n\\ =&1-0\\[3px] =&1 }$

であることは簡単に理解できるので $0.9999\cdots=1$ になるというわけです。

あまり面白い説明ではありませんね。そもそも極限を知っている人は $0.9999\cdots=1$ を理解するのにあまり苦労しないと思います。それに,この説明も「$\cdots$」の意味を $\lim$ で覆い隠しただけで,疑問に答えたとは言えません。

極限を知らない人向けの説明 (こっちが本題)

$\lim$ で書いて納得できるのはある程度数学を学び進めた人に限られますので,もっと易しく,誰でも感覚的に理解できるように説明します。

おそらく $0.9999\cdots$ は何だか「$9$ の書き込み継続中」のようなイメージを抱かせるのでしょう。しかし,もともと動的に変わり続けている値なんて扱いようがないわけで,この「$\cdots$」表記の本当の定義を知らないまま,見た目の雰囲気だけで捉えているのがまずいのです。

$0.9999\cdots$ というのは,$9$ を書き続けていったときの到達"目標"値です。そこに本当に到達できるのかどうかは別です。確かに,どんなに $9$ を書き並べてもその値が $1$ に等しくなることはありません。しかし,$9$ を並べれば並べるほど,その値が $1$ に近づいていくことは分かるでしょう。つまり $0.9999\cdots=1$ は,$0.9$,$0.99$,$0.999$,$0.9999$ の近づいて行く先が $1$ だと言っているのであり,その値が決して $1$ にならないこととは何も矛盾していないのです。大雑把な説明ですが,そもそも極限の定義がこういうものなのです。

おまけ

$0.999\cdots$ の小数第1位は何でしょうか。

$0.999\cdots$ は,$0.9$,$0.99$,$0.999$,$0.9999$,$\cdots$ の到達目標値である $1$ を表しています。$1=1.0$ なので,その小数第1位は $0$ です。

(2006/05/10)