数学つれづれ草

面白い共線の証明

少し前に「高校への数学」という雑誌で面白い話を知りました。

「3直線 $ax+by=1$, $cx+dy=1$, $ex+fy=1$ が1点で交わるとき,3点 $(a,~b)$, $(c,~d)$, $(e,~f)$ は一直線上にある」という定理の証明です。定理自体もよくできていますが,その証明が見事です。

[証明]

3直線 $ax+by=1$,$cx+dy=1$,$ex+fy=1$ の交点を $(p,~q)$ とすると,次が成り立つ。

$\eqalign{ ap+bq&=1\\[2px] cp+dq&=1\\[2px] ep+fq&=1 }$

積になっている部分の前後を入れかえると,

$\eqalign{ pa+qb&=1\\[2px] pc+qd&=1\\[2px] pe+qf&=1 }$

これらは3点 $(a,~b)$, $(c,~d)$, $(e,~f)$ が1つの直線 $px+qy=1$ 上にあることを示している。■

なるほど。定理を見たときには「へぇ~,そんなに上手くいくの?」と思いましたが,気が付いてみると結構当たり前のことだったんですね。

(2003/08/13)