数学コラム
クローゼットの扉が通過する部分の面積は？
右の写真は，私の部屋にあるクローゼットです。この扉は取っ手の部分を引くと，2枚の板が山折りになるように手前に浮き上がって開きます。(確かバスの扉にもこんなのがあったっけ)
この扉の通過する部分には物を置くわけにはいかないので，部屋のレイアウトを考えるとき，図面に扉の通過する部分も描きこんで考えていました。
すると，「この扉の描く曲線は何だ？」ということと，「扉の通過する部分の面積はどのくらい？」という疑問がわいてきたので，考えてみることにしました。
アニメーションで表示するとこんな感じです。
通過部分の軌跡を描いてみるとこんな感じ。
さて，この動く折れ線のうち，赤いほう(下の図のPQ)を $y$ 軸と交わるまで延長して，交点をRとします。
すると，PQ=QRとなるので，PRの長さは常に一定(この図で言えば常に10)であることが分かります。両軸上に端点を持つ一定の長さの線分がつくる包絡線といえば…アステロイドですね。
では，アステロイドも描いてみよう。
お！ やっぱりぴったりだ。
ただし，アステロイドを描くのは45度起き上がるまで。その後は単なるおうぎ形になっています。
さて，ここまで正体が分かれば面積は積分計算で求められます。ここからは扉の幅は $a$ とします。つまり板1枚あたりの幅は $a/2$ です。
まず第1象限でアステロイドに囲まれた面積を求めてみます。あとはこの面積を半分にして，それに中心角45度のおうぎ形の面積を足せばいいのです。
アステロイドは $(x,~y)=(a\cos^3\theta,~a\sin^3\theta)$ で表されるので，ここは置換積分で…
$
\let\orgcdot=\cdot
\def\cdot{\!\orgcdot\!}
\eqalign{
S_1&=\[1/2]\int_0^ay\,dx\\[1px]
&=\[1/2]\int_{\pi/2}^0\left(a\sin^3\theta\right)\left(-3a\cos^2\theta\sin\theta\right)d\theta\\
&=\[3/2]a^2\int_0^{\pi/2}\left(\cos^2\theta\sin^4\theta\right)d\theta\\
&=\[3/2]a^2\int_0^{\pi/2}\left(\sin^4\theta-\sin^6\theta\right)d\theta\\[3px]
&=\[3/2]a^2\left(\[3/4]\cdot\[1/2]\cdot\[\pi/2]-\[5/6]\cdot\[3/4]\cdot\[1/2]\cdot\[\pi/2]\right)\\
&=\[3/64]\pi a^2
}$
これが45度起き上がるまでの面積です。あとはおうぎ形。
$\eqalign{
S_2&=\pi\left(\[a/2]\right)^2\times\[1/8]\\
&=\[1/32\Rule{0px}{0px}{3px}]\pi a^2
}$
準備OK！ これらを足せば答えが出るぞ。
$\eqalign{
S&=S_1+S_2\\
&=\[3/64]\pi a^2+\[1/32]\pi a^2\\
&=\[5/64\Rule{0px}{0px}{3px}]\pi a^2
}$
出た。うれしい。
微分・積分の知識が，こんな身近なところで使えるなんてうれしいですね。
(2004/01/12)